福建省厦门第一中学2022-2023学年高一数学上学期期中考试试题（Word版附解析）

厦门一中2022级第一学期期中考试一、单选题1.设全集，集合，，则（）．A.B.C.D.集合A的真子集个数为8【答案】C【解析】【分析】根据集合的交并补的运算判断A，B，C；根据集合A中元素个数计算出真子集个数判断D.【详解】解：因为，，所以，故A错误；，故B错误；，故C正确；因为集合A中有3个元素，所以集合A的真子集有个，故D错误.故选：C.2.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据偶次根式下不小于0，分式的分母不为0列出不等式组，解出即可.【详解】要使函数有意义，需满足，解得且，即函数的定义域为，故选：A. 3.函数的递减区间是A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】因为定义域为所以函数的递减区间是故选：A点睛：求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.4.如图所示，其对应的函数解析式可能是（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的函数图象，由函数定义域及函数值的情况判断作答.【详解】由图象知，函数定义域为，而函数定义域为，A不是；函数的定义域为R，D不是；由图象知，在的邻近区域内，函数值为正，而当时，， ，C不是，B可能是.故选：B5.已知函数为奇函数，当时，，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函数奇偶性可得，代入时，，解得，进而可求得结果．【详解】为奇函数，，，则，当时，，，即，解得：，当时，，.故选：B.6.若，，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和幂函数的单调性可求得，而，根据中间量的关系即可得解.【详解】由为增函数，为减函数，可知， ，所以.故选：D7.已知函数，若实数a满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数为上的偶函数，且在上单调递增，则不等式可转化为，由此可得的取值范围.【详解】，其中，∵，则为偶函数，当时，，则在上单调递增，又，则，即，故，则，解得.故选：D.8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则关于函数的叙述不正确的是（）．A.是奇函数B.是奇函数C.在R上是增函数D.的值域是【答案】BCD【解析】【分析】A选项，举出反例； B选项，利用函数奇偶性的定义进行判断；C选项，分离常数后，结合指数函数单调性得到结论；D选项，利用指数函数的性质以及高斯函数的定义求出值域.【详解】因为，且，所以，，所以，故不是奇函数，A错误；定义域为R，且，故奇函数，B正确；因为，又在R上单调递增且恒大于0，故在R上单调递增，C正确；因，则，所以，当时，则，当时，则，所以，故的值域是，D正确.故选：BCD二、多选题9.下列结论正确的是（）A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>abC.若a>b>0，则ab>b2D.若|a|>|b|，则a2>b2【答案】CD【解析】 【分析】根据不等式性质分析判断.【详解】对A：若，则，A错误；对B：若，则，B错误；对C：若a>b>0，根据不等式性质可得：ab>b2，C正确；对D：若，根据不等式性质可得：a2>b2故选：CD.10.关于函数的性质，下列说法正确的是（）．A.函数的定义域为B.函数的值域为C.方程有且只有一个实根D.的图象关于点对称【答案】ACD【解析】【分析】求出函数的定义域、值域判断A、B；利用方程根的个数与函数图象交点个数的关系判断C；利用函数对称性的性质判断D．【详解】函数的定义域为，故A正确；因为，，则，所以函数的值域是，故B错误；方程，由于不符合，则，作出函数与的图象如图，由图可知，两函数图象只有一个交点，所以方程有且只有一个实根，故C正确；因为，所以关于对称，故D正确． 故选：ACD．11.已知，，，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由、结合条件等式可判断A、B，由结合条件等式可判断C、由结合条件等式可判断D.【详解】对于A，B，由，，利用基本不等式，可得，解得，又（当且仅当时，等号成立），而，所以，所以，故B正确，A错误：对于C，由，，利用基本不等式，变形得（当且仅当时，等号成立），解得，即，故C正确；对于D，由，，利用基本不等式化简得（当且仅当时，等号成立），解得，故D错误；故选：BC 12.已知函数，的零点分别为，，给出以下结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】函数的图象关于直线对称，是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标，则有，，，直接变形判断AB；利用基本不等式判断C；由零点存在定理判断，构造函数，确定单调性，再计算函数值，利用单调性判断D．【详解】由函数得，所以的图象关于直线对称，是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标，因此已知，，又，，即，因而A、B均正确；又，当且仅当即时等号成立，但，因而，上式等号不成立，所以，C正确；记，， 因此而函数在区间范围内单调递增，所以，所以D错误．故选：ABC．三、填空题13.已知函数是幂函数，且该函数在第一象限是增函数，则m的值是__________．【答案】1【解析】【分析】根据幂函数的定义即可求出m的值.【详解】由已知是幂函数，且该函数在第一象限是增函数得：解得故答案为：114.设实数x满足，且，则______. 【答案】【解析】【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为，解方程求得或，进而结合的范围求得结果.【详解】即，解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.15.已知函数满足，且以点为对称中心，写出一个符合条件的函数__________．【答案】【解析】【分析】根据函数的对称中心为，以及，写出符合条件的函数即可.【详解】因为函数的对称中心为，不妨设为分式函数，因为，所以，解得，取，即.故答案为：16.定义在区间上函数满足：，时，若，，，则__________，三个实数a，b，c最大的为__________．【答案】①.0②.【解析】 【分析】令，可求出，设，推导出，结合时，，得到，从而在上单调递增，取，则，由，结合函数的单调性得到，求出b最大.【详解】令得：，解得：，故，设，且满足，则，所以，因为，所以，因为，所以，综上：，因为时，，故，即，，故函数在上单调递增，因为，取，则，则，因为，所以，即，三个实数a，b，c最大的为. 故答案为：；.【点睛】抽象函数单调性求解或证明，通常使用赋值法，结合函数特点，对赋值，结合函数定义法证明出函数的单调性，证明本题难点有两个，一个是设出，推导出，从而证明出函数在上单调递增，另一个是如何处理.四、解答题17.已知命题，为假命题．（1）求实数a的取值集合A；（2）设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值集合．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用存在量词命题是假命题列出不等式，求解不等式作答.（2）根据给定条件，利用必要不充分条件的意义求解作答.【小问1详解】命题，为假命题，则命题，为真命题，显然，否则方程有实根，因此，解得，，实数a取值集合.【小问2详解】由非空集合知，，解得，，因“”是“”的必要不充分条件，则Ü，因此，解得，所以实数m的取值集合是.18.已知函数，．（1）用定义法证明：函数在上单调递增；（2）求不等式的解集． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）【解析】【分析】（1）取值，作差，判号，得到相应结论；（2）先得到，为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案.【小问1详解】任取，且，，因为，且，故，，，，，所以，，故函数在上单调递增；【小问2详解】，定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，变形为，则要满足，解得：，故不等式的解集为19.有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.（1）证明：当时，掌握程度的增加量总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,,.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.【答案】（1）见解析（2）乙科【解析】【详解】⑴中，要证明掌握程度的增加量总是下降，只需利用函数的单调性证明单调递减即可；⑵中，根据题意，建立方程求的估计值，结合给出的范围，进行判断.⑴证明：当时，，，函数单调递增，故单调递减，所以当时，掌握程度的增加量总是下降.⑵解：由题意知整理可得所以由此可知，该学科为乙科.20.设函数是定义域为R上的奇函数．（1）求的值.（2）若上的最小值为—2，求m的值．【答案】（1）k=1（2） 【解析】【分析】解：（1）是定义域为R上的奇函数，（2）即（舍去）令当时，当时，当时，当时，，解得，舍去综上可知【详解】21.设函数．（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）分和对函数分段，然后由在R上单调递增得到不等式组，求解不等式组得到实数a的取值范围；（2）写出分段函数，不等式≥2x对切实数x∈R恒成立，等价于不等式g(x)≥0对一切实数x∈R恒成立，然后求出函数在不同区间段内的最小值，求解不等式得答案.【详解】解：（1），要使在上单调递增， 只需，解得：，即的取值范围为；（2）设，则，即不等式对一切实数恒成立，时，当时，单调递减，其值域为：，，，恒成立，当时，，，，得，，时，，成立，时，时，递增，其值域是：，显然不成立，综上：．22.对于定义在D上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点，已知，（1）当时，求函数的不动点；（2）若是函数的不动点，求使得不等式成立的整数k的最大值．【答案】（1）不动点为和；（2）2.【解析】【分析】（1）由已知，结合不动点的定义可得求解即可. （2）由不动点的定义，将已知条件化简整理为，构造并判断单调性，进而有且，利用零点存在性定理判断的范围且，结合对勾函数性质求值域，即可确定整数k的最大值．【小问1详解】当时，．方程可化为，解得或，所以的不动点为和．【小问2详解】若是函数的不动点，则，整理得：，即，两边同除以有，两边同乘以e有：，令，则在上单调递增.由，可得，所以，即，若，则，，所以，令，而，所以整数k的最大值是2．【点睛】关键点点睛：第二问，利用不动点整理化简条件得到，应用同构思想构 造并确定单调性，进而转化为，应用零点存在性求的范围，由对勾函数性质解决不等式恒成立问题.