四川省绵阳南山中学实验学校2023年高三数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

绵阳南山中学实验学校补习2024届九月月考文科数学试卷总分：150分，时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的函数值的集合，再进行并集运算即可.【详解】，当或时，；当时，.，则.故选：D.2.下列函数在有意义且单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据常见函数的定义域及单调性判断即可.【详解】函数的定义域为，且单调递减，故A错误；函数的定义域为，且单调递增，故B正确；函数的定义域为，且在上单调递减，在上单调递增，故C错误；函数的定义域为，且单调递减，故D错误.故选：B.3.若命题p：，，命题q：，，则下列命题为真命题的是（） 绵阳南山中学实验学校补习2024届九月月考文科数学试卷总分：150分，时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的函数值的集合，再进行并集运算即可.【详解】，当或时，；当时，.，则.故选：D.2.下列函数在有意义且单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据常见函数的定义域及单调性判断即可.【详解】函数的定义域为，且单调递减，故A错误；函数的定义域为，且单调递增，故B正确；函数的定义域为，且在上单调递减，在上单调递增，故C错误；函数的定义域为，且单调递减，故D错误.故选：B.3.若命题p：，，命题q：，，则下列命题为真命题的是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分析命题p、q的真假，由复合命题真假的判断方法分析即可.【详解】对于命题p：由于，所以不存在x，使得，则命题p为假命题，对于命题q：由于，故不存在，使得，则命题q为假命题，所以为真命题，、、为假命题.故选：D.4.设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可.【详解】由，解得，所以，又由，解得，所以，因为是的必要不充分条件，所以集合真包含于，所以，解得，经检验，时，，满足题意；时，，满足题意； 所以实数的取值范围是.故选:A.5.已知函数在区间上的大致图象如图所示，则的解析式可以是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用排除法，根据函数的奇偶性和符号分析判断.【详解】因为，所以为奇函数，对于选项A：因为为奇函数，则为偶函数，不合题意，故A错误；对于选项B：因为为奇函数，则为偶函数，不合题意，故B错误；对于选项D：当时，，可得，则，所以当时，恒成立，不合题意，故D错误；故选：C.6.若，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由对数函数和指数函数、幂函数的性质判断．【详解】解：∵，∴函数在上单调递减， 又∵，∴，∴，即，所以选项A正确，选项B错误，∵幂函数在上单调递增，且，∴，所以选项C错误，∵指数函数在R上单调递减，且，∴，所以选项D错误，故选：A．7.若，，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用基本不等式求得，然后利用不等式的性质求解最值即可.【详解】因为，，，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为.故选：A.8.下列函数的最大值为1的函数是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据判断A；根据二次函数性质判断B；根据基本不等式判断C；根据正弦函数性质判断D.【详解】解：对于A，的定义域为，由于，故，故A选项错误；对于B，，即函数的最小值为，故B选错误；对于C，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，当且时等号成立，故C选项正确；对于D，，，故D选项错误.故选：C9.函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数是定义在上偶函数，不等式可化为，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可．【详解】函数是定义在上的偶函数，则，又，则，即为， 即，即，又因在区间上单调递增，所以，则或，解得或，所以的取值范围是．故选：A．10.已知函数，则（）A.B.1516C.D.1517【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的周期性即可求出的值.【详解】由题意，在中，因为当时，，所以是以为周期的周期函数，故，，所以.故选：D.11.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源一系列活动的总称．垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为20%，经过24个月，这种垃圾的分解率为40%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据） A.64个月B.40个月C.52个月D.48个月【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求得以及，根据题目要求列方程，化简求得正确答案.【详解】依题意，，两式相除得，则，由两边取以为底的对数得，由，得，两边取以为底的对数得个月.故选：B12.给出下列命题：对于定义在上的函数，下述结论正确的是（）①若，则的图象关于直线对称；②若是奇函数，则的图象关于点对称；③若函数满足，则；④若关于的方程有解，则实数的取值范围是．A.①③B.②④C.③④D.②③【答案】D【解析】【分析】根据函数的对称性与周期性即可判断①；根据奇函数的图象即可判断②；根据分析即可判断③；关于的方程有解，即函数的图象有交点，作出函数的图象，即可判断④.【详解】对于①，若，则，所以函数是以为周期的周期函数，无法得出其对称轴，故①错误； 对于②，若是奇函数，则函数关于原点对称，而函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到的，是以的图象关于点对称，故②正确；对于③，若函数满足，令，则，所以，即，故③正确；对于④，关于的方程有解，即函数的图象有交点，如图，作出函数的图象，由图可知，，故④错误.故选：D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为___________. 【答案】【解析】【详解】试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.考点：函数定义域的求法及运用．14.计算：=_________________.【答案】【解析】【分析】运用换底公式、对数的运算性质进行求解即可.【详解】，故答案为：15.设，其中，曲线在点处的切线与y轴相交于点，则______【答案】##【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，得到切线方程，结合已知列出方程求a的值即可.【详解】由，得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为，因为切线与y轴相交于点，所以，解得故答案为：16.已知函数.若在恒成立，则的范围为___________.【答案】【解析】【分析】利用常变量分离法，通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.【详解】，因为，所以，所以由，设，，因此有，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，因为在恒成立，所以有，因此的范围为，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是利用常变量分离法，通过构造新函数来进行求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知的内角的对边分别为，.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）由正弦定理及余弦定理得出结果；（2）由正弦定理得出，根据诱导公式得出关系，再分情况求三角形的面积.【小问1详解】由正弦定理得，所以，由余弦定理得，又，所以.【小问2详解】由正弦定理得，而，或，或.若，则为正三角形，；若，则为直角三角形，，，，综上所述，的面积为或.18.已知函数，满足______．在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． （1）求的解析式；（2）把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值．【答案】（1）条件选择见解析，（2）【解析】【分析】（1）若选①②：根据求出，函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，从而得到函数的解析式；若选①③：根据求出，函数图象的一个最低点的坐标为求出，可得函数的解析式；若选②③：根据函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，函数图象的一个最低点的坐标为，求出可得函数的解析式；（2）利用图象平移可得解析式，再由在区间上的最大值为2可得答案.【小问1详解】若选①②：因为函数的一个零点为，所以，所以，所以，因为，所以．因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以．因为，所以，所以函数的解析式为；若选①③：因为函数的一个零点为，所以，所以，所以，因为，所以． 因为函数图象的一个最低点的坐标为，所以，所以，所以，即，因为，所以．所以函数的解析式为；若选②③：因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以，因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为，所以，所以，所以即，因为，所以，所以函数的解析式为；【小问2详解】把的图象向右平移个单位得到，再将向上平移1个单位得到，即，由得，因为在区间上的最大值为2，所以在区间上最大值为1，所以，所以，所以的最小值为. 19已知数列满足，．（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项之和．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得解；（2）利用错位相减法求和即可；【详解】解：（1）依题意，，也即，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知，所以，因此，两边同乘以2得：，两式相减得：，因此．【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式以及错位相减法求和，属于中档题.20.已知函数．（1）若是奇函数，且有三个零点，求的取值范围； （2）若在处有极大值，求当时的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由函数奇偶性，得到，得出，对其求导，分别讨论和两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果；（2）先对函数求导，根据极大值求出，根据函数单调性，即可求出值域.【详解】（1）∵是定义域为的奇函数，所以，且．∴，∴．当时，，此时在上单调递减，在上只有一个零点，不合题意．当时，，解得，∴在，上单调递减，在上单调递增，∵在上有三个零点，∴且，即，即，而恒成立，∴．所以实数的取值范围为．（2），由已知可得，且，解得或当，时， ，，令，即，解得，令，即，解得或，即函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；所以是的极小值点，与题意不符．当，时，，．令，即，解得；令，即，解得或，即函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；所以是的极大值点，符合题意，故，．又∵，∴在上单调递增，在上单调递减．又，，．所以在上的值域为．【点睛】思路点睛：导数的方法求函数零点的一般步骤：先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果.21.已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）对于任意的、，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）本题首先可根据得出以及，然后分别令以及进行求解，即可得出结果； （2）本题首先可以根据题意得出，然后求出，最后分为和两种情况进行分类讨论，即可得出结果.【详解】（1）当时，，，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增.（2）因为对于任意的、，恒成立，所以，，①当时，令，得，当时，即时，，在上单调递增，此时，因为，，所以恒成立，当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，此时不恒成立，②当时，函数在上单调递减，所以，进而可知不恒成立，综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查导函数的相关性质，主要考查根据导函数判断函数单调性以及根据导函数求不等式恒成立问题，若函数的导函数为，则当，函数是增函数，当，函数 是减函数，考查推理能力与计算能力，是难题.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，射线的方程为，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求射线和曲线的极坐标方程；（2）若射线与曲线交于点，将射线绕极点按逆时针方向旋转交于点，求的面积.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据直角坐标方程转化为极坐标方程的方法求得射线和曲线的极坐标方程.（2）利用极坐标，结合三角形的面积公式求得的面积.【小问1详解】将，代入得，所以，所以射线的极坐标方程为，将，代入得，所以曲线的极坐标方程为.【小问2详解】由题意可设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，因为，，所以， 所以.23.已知不等式的解集为．（1）求实数的值；（2）若，且，求的最小值．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）分，，三种情况讨论即可；（2）设，，则.利用和基本不等式即可求解.【小问1详解】当时，不等式的解集为，不合题意；当时，不等式的解集为，不合题意;当时，，即，因为不等式的解集为，所以.【小问2详解】由(1)知，，设，，则.，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.