四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高三数学（理）上学期9月月考试题（Word版附解析）

绵阳南山中学实验学校2024届补习年级九月月考理科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.若集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先确定集合，再由并集的定义计算．详解】由已知，故选：C．2.命题“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】存在命题的否定是全称命题，命题“，”的否定是：，．故选：C． 3.函数的零点为，且，，则（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据零点的存在性定理求解.【详解】因为在单调递增，且，即，所以，故选：C.4.已知函数的最小正周期是，当时，函数取得最小值，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函数的最小正周期可求得的值，由当时，函数取得最小值，可求出的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得的值.【详解】因为函数的最小正周期是，则，则，当时，函数取得最小值，则，所以，，所以，，其中，因此，.故选：B.5.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：），火 箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对数运算法则可求得，由此可得结果.【详解】由题意得：，，，即当火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值为.故选：D.6.已知等差数列，其前n项和满足，则（）A.4B.C.D.3【答案】A【解析】【分析】由等差数列的前项和公式，与等差中项易得，由等差中项易得.【详解】是等差数列，其前n项为，，，.故选：A.7.已知点在幂函数f（x）＝xn的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（　　）A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.a＜c＜b 【答案】C【解析】【分析】先将点代入幂函数即可求出，再利用幂函数的单调性即可判断出大小.【详解】解：∵点在幂函数f（x）＝xn的图象上，∴，∴，∴幂函数，在上单调递减，又∵，∴，即a＞c＞b.故选：C．8.若：实数使得“”为真命题，：实数使得“”为真命题，则是的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据命题的真假性求出的范围，化简命题，再根据充分性和必要性的概念求解即可.【详解】因为：实数使得“”为真命题，所以有解，所以，解得，即；因为：实数使得“”为真命题，所以，由指数函数的图象和性质可得，即，所以，，即是的必要不充分条件，故选：A 9.部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，可化为所以，故为偶函数，图形关于y轴对称，排除B，D选项；令可得，或，由，解得，，由，解得，所以函数最小的正零点为，当时，，，，排除A，故选：C.10.设函数，则使得的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数解析式判断函数单调性和奇偶性，将外函数大小比较转换为内函数的大小比较，由此得出答案.【详解】函数的定义域为，且所以函数为偶函数，又因为当时，函数，单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，因为偶函数有，所以由可得，所以，即，整理得：，解得：，所以的取值范围为.故选：C.11.若函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（）A.14B.13C.12D.11【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，分析函数的性质，在同一坐标系内作出函数的部分图象，借助图形求出在内两个图象交点个数作答.【详解】函数的定义域为，而，即是周期为2的周期函数，函数在上递增，且，在上递减，且，在上递增，且， 在同一坐标系内作出函数的部分图象，如图，由得，即函数在内的零点个数是函数的图象在内的交点个数，观察图象知，函数的图象在内有12个交点，所以函数在内有12个零点，C正确.故选：C12.函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围.【详解】设，，所以函数在上为增函数．由的定义域为可知，得，将不等式整理得，即， 可得在上恒成立，即在上恒成立；令，其中，所以，令，得．当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以，即故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若实数满足约束条件，则的最大值为__________.【答案】3【解析】【分析】由实数满足约束条件，作出可行域，再平移直线，由直线直线在y轴上的截距最小时求解.【详解】解：由实数满足约束条件，得可行域如图所示： 平移直线，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，此时目标函数取的最大值，最大值为3，故答案为：314.已知函数，则______.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，进而求解结论.【详解】解：∵函数，∴，∴.故答案为：.15.若，则的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】根据对数的运算找出之间的关系，再利用基本不等式求出最值.【详解】即：则，于是当且仅当时等号成立.故答案为：.【点睛】灵活使用对数的运算法则，以及掌握基本的基本不等式题型.16.设定义在上的函数与的导函数分别为和，若， ，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是_______________.（1）函数图象关于对称；（2）；（3）；（4）【答案】（1）（3）【解析】【分析】根据为奇函数推出对称中心,根据逆向思维得到,代入推出的对称轴,进一步得出周期4,周期也为4,算出时的函数值以及一个周期内的值即可求解.【详解】因为,则,因为，所以,用去替x，所以有，所以有,取代入得到则，故，用换x，可得，函数的图象关于对称,故（1）正确；在上为奇函数,则过,图像向右移动两个单位得到过，故图像关于对称，;，而，所以有，则的周期;又因为图像关于对称，;函数的图象关于对称,，故,,故（3）正确；,是由的图像移动变化而来,故周期也为4, 因为,所以，,所以，故（2）错误；，周期为4,，,,故，由于的值未知，不一定为0，所以无法判断的值为-4046，故（4）错误;故答案为：（1）（3）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列的前项和，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）．【解析】【详解】试题分析：（1）当时，可求出，当时，利用可求出是以2为首项，2为公比的等比数列，故而可求出其通项公式；（2）由裂项相消可求出其前项和.试题解析：（1）依题意：当时，有：，又，故，由①当时，有②，①－②得：化简得：，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴.（2）由（1）得：，∴ ∴18.已知函数在时取得极大值4.（1）求实数a，b的值；（2）求函数在区间上的最值.【答案】（1）；（2）最大值为4，,最小值为0.【解析】【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.【小问1详解】，由题意得，解得.此时，，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，当时，，所以单调递增，所以在时取得极大值.所以.【小问2详解】由（1）可知，单调递增，在单调递减，在单调递增.又因为，，，，所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.19.记的内角所对边分别为．已知．（1）求的大小； （2）若，再从下列条件①，条件②中任选一个作为已知，求的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由正弦定理化边为角，结合内角和公式，三角函数恒等变换化简求；(2)若选①，由正弦定理求，由条件求，结合三角形面积公式求面积，若选②，由条件可设，利用余弦定理求，结合三角形面积公式求面积.【小问1详解】，由正弦定理知，即．在中，由，．．．．【小问2详解】若选择条件①，由正弦定理，得．．又，即．．． 若选择条件②，由，即．设．则．由，得．．．20.已知函数（），（）．（1）若函数在处的切线方程为，求实数与的值；（2）当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求导，由导函数几何意义得到方程，求出，从而得到，代入切线中，求出答案；（2）转化为时，，求导得到的单调性，求出，再分三种情况求出，得到不等式，求出的取值范围.【小问1详解】，由得，∴，，即切点为，代入方程得，所以，；【小问2详解】由题意可得时，． ∵时，在恒成立，故在为增函数，∴，．①当时，在区间上递增，所以，由解得，舍去；②当时，在上单调递减，在上单调递增，故，故，解得或，∴；③当时，在区间上递减，所以，由解得，∴.综上，.21.已知函数（为常数）.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，设的两个极值点，（）恰为的零点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为；（Ⅱ）.【解析】 【详解】试题分析：（1）先求函数导数，讨论导函数符号变化规律：当时，导函数不变号，故的单调递增区间为.当时，导函数符号由正变负，即单调递增区间为,单调递减区间减区间为，（2）先求导数得为方程的两根，再求导数得，因此，而由为的零点，得,两式相减得,即得，因此，从而，其中根据韦达定理确定自变量范围：因为又，所以试题解析：（1），当时，由解得,即当时，单调递增，由解得,即当时，单调递减,当时，,即在上单调递增,当时，故，即在上单调递增,所以当时，的单调递增区间为,单调递减区间减区间为，当时，的单调递增区间为.（2）,则,所以的两根即为方程 的两根.因为,所以,又因为为的零点，所以,两式相减得,得,而,所以令,由得因为,两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以，设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值【思路点睛】导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.已知在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是 （为参数），点.（Ⅰ）将曲线的方程化为普通方程，并指出曲线是哪一种曲线；（Ⅱ）直线与曲线交于点，当时，求直线的斜率..【答案】(Ⅰ)，圆;(Ⅱ)1.【解析】【分析】（Ⅰ）消去参数可得曲线的普通方程是，曲线是圆.（Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的普通方程，结合直线参数的几何意义计算可得直线的斜率为.【详解】（Ⅰ）参数方程化为普通方程可得曲线的普通方程是，曲线是圆.（Ⅱ）点满足：所以，即.因为，所以.从而.所以.据此可得直线的斜率为.【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化.23.设函数，M为不等式的解集.（1）求M；（2）证明：当a，时，.【答案】（1）（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据题意给的函数解析式，分段去绝对值号，分别求解不等式解集即可完成求解；（2）根据第（1）问求解出的范围，对要证明的式子进行平方，然后合并即可判断.【小问1详解】①当时，由得，解得；即；②当时，由得，解得，即；③当时，由得，解得，此时，这样的x不存在.所以的解集.【小问2详解】证明：由（1）知，当时，，，从而，因此，