2023-2024学年高一数学上学期第一次大练习（Word版附解析）

湖南师大附中2023-2024学年度高一第一学期第一次大练习（月考）数学时量：120分钟满分：150分得分：_________一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．）1.设集合，，则（）A.B.C.D.2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.3.一元二次不等式的解集是（）A.B.C.D.4.已知，则的最小值是（）A.4B.8C.12D.165.设，则（）A.B.C.D.6.已知，，，则下列结论正确的是（）A.ÜB.ÜC.ÜD.Ü7.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（） AB.C.D.8.在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.下列各组中M，P表示不同集合的是（）AM＝{3，－1}，P＝{3，－1}B.M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D.M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}10.若，，且，则下列不等式恒成立的（）A.B.C.D.11.下列命题中是真命题的是（）A.“且”是“”的充要条件B.“”是“”的充分不必要条件C.“”是“关于x不等式（）的解集为空集”的充要条件D.若，则12.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，，都有，，ab，（除数），则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为（）A.0，1是任何数域中的元素B.若数集M，N都是数域，则是一个数域C.存在无穷多个数域D.若数集M，N都是数域，则整数集三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.设集合，集合，若，则实数_____.14.已知不等式的解集是,则不等式的解集是___________.15.已知集合，若集合M至少有8个子集，则实数m的最小整数值为__________．16.已知集合为非空数集，且同时满足下列条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意的，任意的，都有；（ⅲ）对任意的且，都有．给出下列四个结论：①；②；③对任意，都有；④对任意的，都有．其中所有正确结论序号是________．四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合，；（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．18.已知，，．（1）求的最小值；（2）求证：．19.设集合，B＝{x|2(a＋1)x＋a2－1＝0}.（1）若－1∈B，求a的值；（2）设条件p：x∈A，条件q：x∈B，若q是p的充分条件，求a的取值范围.20.关于实数x的不等式．（1）若，求该不等式解集；（2）若该不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．21.某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心 厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．22.符号表示不大于x的最大整数（），例如：，，．（1）已知方程的解集为M，方程的解集为N，直接写出集合M、N；（2）在（1）的条件下，设集合，是否存在实数k使得且，若存在，请求出实数k的范围；若不存在，请说明理由；（3）设函数（），方程的两个实根为和，且满足．若函数在时的函数值记为，求证：． 湖南师大附中2023-2024学年度高一第一学期第一次大练习（月考）数学时量：120分钟满分：150分得分：_________一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．）1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据集合交集概念求解．【详解】故选：A2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题即可得解；【详解】解：命题“”为全称命题，其否定为特称命题，故其否定为故选：D【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.3.一元二次不等式的解集是（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】直接解一元二次不等式即可.【详解】由，即，解得，故选：A.4.已知，则的最小值是（）A.4B.8C.12D.16【答案】D【解析】【分析】由基本不等式可得答案.【详解】已知，则，，当且仅当，即时“”成立，故所求最小值是16.故选：D．5.设，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法即得.【详解】因为恒成立，所以．故选：A.6.已知，，，则下列结论正确的是（）A.ÜB.ÜC.ÜD.Ü 【答案】B【解析】【分析】将集合特征相关表达式变形，可得集合间关系，即可得答案.【详解】，，故；当时，，当时，，则Ü.故选：B．7.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得到命题的一个充要条件，然后将充分不必要条件转化为真子集，再结合选项即可得到结果.【详解】命题“”为真命题，可化命题“”恒成立，时显然成立．当时只需的最小值即可．解得．故命题“”为真命题的一个充要条件是，由选项可知，A符合题意．故选：A．8.在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】C【解析】 【分析】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为、、、，根据题意得出等式与不等式，利用不等式的基本性质可得出、、、的大小关系，进而可得出结论.【详解】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为、、、，则，，，.由于同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，则，①同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，则，②乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和，则，③②①得，②①得，由③得，，所以，.即阅读量最大的是丙.故选：C.【点睛】本题考查推理案例的问题，关键是将语句之间的关系转化为等式与不等式关系，考查推理能力，属于基础题．二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.下列各组中M，P表示不同集合是（）A.M＝{3，－1}，P＝{3，－1}B.M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D.M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}【答案】BD【解析】【分析】选项A中，M和P的代表元素相同，是同集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，解出集合M和P；选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合．【详解】选项A中，根据集合的无序性可知； 选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故．故选：BD．10.若，，且，则下列不等式恒成立的（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.【详解】因为，，且，则，当且仅当时，等号成立，所以，，A对；，当且仅当时，等号成立，B对；，当且仅当时，等号成立，C错；因为，则，故，当且仅当时，等号成立，D对.故选：ABD.11.下列命题中是真命题的是（）A.“且”是“”的充要条件B.“”是“”的充分不必要条件C.“”是“关于x的不等式（）的解集为空集”的充要条件D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据充分与必要条件的定义，结合不等式的解法及函数的单调性逐个判断即可. 【详解】对于A：且，但由不能推出且，“且”是“”的充分不必要条件，故A是假命题；对于B：，而由推不出，“”是“”的充分不必要条件，故B是真命题；对于C：的解集为空集，则且，而由且可知，的解集为空集，故C是假命题；对于D，其对应函数为，是单调递减函数，则D显然成立．故选：BD．12.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，，都有，，ab，（除数），则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为（）A.0，1是任何数域中的元素B.若数集M，N都是数域，则是一个数域C.存在无穷多个数域D.若数集M，N都是数域，则整数集【答案】ACD【解析】【分析】AD选项，由数域定义可得答案；B选项，通过举反例判断选项正误；C选项，由题可知为素数为数域，据此可得答案.【详解】A选项，根据定义，由，则，则0，1是任何数域中元素，故A正确；B选项，若数集都是数域，不妨设，.取，则，则不是一个数域，故B错误；C选项，由题可知，任何一个形如，是素数的集合都是数域，而素数有无穷多个，并且不同时集合也不同，故存在无穷多个数域，故C正确； D选项，由0，1是任何数域中的元素可得依次类推，整数集是任何数域的子集，若数集都是数域，则，则整数集，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设集合，集合，若，则实数_____.【答案】-3【解析】【详解】因为集合，，A={0,3}，故m=-3.14.已知不等式的解集是,则不等式的解集是___________.【答案】【解析】【分析】先根据方程的解求出，再解不等式即可【详解】由题知方程的两根分别为所以,即不等式即,解得故答案为：15.已知集合，若集合M至少有8个子集，则实数m的最小整数值为__________．【答案】3【解析】【分析】由题可得集合M中至少有3个元素，即可得答案.【详解】集合有n个元素，则集合有个子集，因集合至少有8个子集，则中至少有3个元素，又由，所以，则的最小整数值为3． 故答案为：316.已知集合为非空数集，且同时满足下列条件：（ⅰ）；（ⅱ）对任意的，任意的，都有；（ⅲ）对任意的且，都有．给出下列四个结论：①；②；③对任意，都有；④对任意的，都有．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①③④【解析】【分析】由集合满足的条件，验证给出的结论是否正确.【详解】由题意可知，，则，结论①正确；，有，，，结论②错误；对任意的，则，有，结论③正确；，则，可得，，即，所以，即，得，由，有，∴当，可得，，故结论④正确.故答案为：①③④四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合，；（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）因为所以很容易求出集合，又已知集合，利用集合的基本运算即可求出;（2）本题考查的是集合的运算，，所以需要考虑和不为空集两种情况，再结合集合的基本运算即可求出实数的取值范围．试题解析：（1）（2）当时，当时，综上所述：考点：集合的运算【易错点睛】凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合是点集，表示函数上所有点的集合．集合表示使函数解析式有意义的的取值范围，是定义域；所以在做题时要看清楚间隔号之前表示的是什么含义．18.已知，，．（1）求的最小值；（2）求证：．【答案】（1）4；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用均值不等式直接求解作答.（2）利用均值不等式求出ab的范围，再利用不等式的性质推理作答.【小问1详解】因，，则，解得，当且仅当时取等号，所以当时，的最小值是4. 【小问2详解】因，，则，当且仅当时取等号，即有，于是得，所以成立.19.设集合，B＝{x|2(a＋1)x＋a2－1＝0}.（1）若－1∈B，求a的值；（2）设条件p：x∈A，条件q：x∈B，若q是p的充分条件，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入方程即可求解.（2）求出集合，由题意可得，根据集合的包含关系即可求解.【小问1详解】因为－1∈B，所以，解得【小问2详解】，由题意可得，当时，，解得，当时，或或，当时，，此时无解；当时，，解得；当，，解得，综上所述，a的取值范围为. 20.关于实数x的不等式．（1）若，求该不等式解集；（2）若该不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入不等式，求解不等式即可.（2）分和两种情况，结合二次函数的性质，即可求出结果.【小问1详解】解：当时，原不等式即为：，解得，所以不等式解集；【小问2详解】解：若不等式对一切实数恒成立，当时，恒成立，故满足题意；当时，要使得不等式对一切实数恒成立，则即，解得；综上：.21.某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得，当时，，代入上式，得，可得表达式．（2）化简函数y，利用基本不等式求解最小值即可.【小问1详解】由题意得，当时，，代入上式，得所以【小问2详解】，当且仅当，即时取“=”．所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为22.符号表示不大于x的最大整数（），例如：，，．（1）已知方程的解集为M，方程的解集为N，直接写出集合M、N；（2）在（1）的条件下，设集合，是否存在实数k使得且，若存在，请求出实数k的范围；若不存在，请说明理由； （3）设函数（），方程的两个实根为和，且满足．若函数在时的函数值记为，求证：．【答案】（1）（2）不存在，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，直接写出集合M、N即可；（2）根据题意，将集合化简，然后分讨论，即可得到结果；（3）根据题意，直接求解方程，即可得到的范围，再由（2）中的结论，即可得到结果.小问1详解】集合；【小问2详解】不存在．理由如下：；当时，，此时且；当时，，因为，所以；当时，，因为，所以；所以，不存在实数使得且；【小问3详解】设，从而．由得，所以． 由（2）得，时，的解集为，又，所以．