第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题课件（人教版八上）

13.4课题学习最短路径问题R·八年级上册 新课导入导入课题前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径. 学习目标（1）能利用轴对称变换解决实际问题.（2）能利用作图解决生活中的轴对称问题.（作图建模） 推进新课知识点1将军饮马问题问题1从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．BAlC设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）． 联想B·lA·如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？两点之间，线段最短.连接AB，与直线l相交于一点，这个交点即为所求. 如果我们能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为上面的情况.BAlCB′作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质可以得到CB′=CB. 连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C 证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短． 巩固练习练习1如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.解：如图，P点即为该点. 知识点2造桥选址问题如图所示，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.） 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 连接A′B与b相交于N，N点即为所求. 巩固练习练习2牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.A´B´PQ.... 随堂演练基础巩固1.作图在直线l上找一点C，使AC+BC最小...AB(1).. 2.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.解：如图AP+AB即为最短的放牧路线. 综合应用3.如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使△PMN的周长最小.解：如图，作点M关于BC的对称点M′，连接M′N，交BC于点P，则△PMN的周长最小. 拓展延伸4.如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，请说明理由. 解：如图，作B点关于MN的对称点B′，连接AB′并延长，交MN于点P，点P即为所求.理由：点A，B′，P在同一条直线上时，PA-PB′最大，即PA-PB最大. 课堂小结归纳在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.