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13.4-课题学习--最短路径问题
13.4-课题学习--最短路径问题
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第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题 复习引入线段公理:两点之间,线段最短.垂线段性质:垂线段最短.AB最短路径问题BAl 问题1:如图所示,从A地到B地有三条路可供选择,你会选走哪条路最近?你的理由是什么?两点之间,线段最短①②③ 问题2:两点在一条直线异侧已知:如图,A,B在直线L的两侧,在L上求一点P,使得PA+PB最小。P连接AB,线段AB与直线L的交点P,就是所求。 思考???为什么这样做就能得到最短距离呢?根据:两点之间线段最短. 问题3如图,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?思考:你能把这个问题转化为数学问题吗?ABl lABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时,AC与BC的和最小?分析:ABl 如图,点A、B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A、点B的距离的和最短?联想:两点之间,线段最短.?lABC (1)这两个问题之间,有什么相同点和不同点?(2)我们能否把A、B两点转化到直线l的异侧呢?转化需要遵循的原则是什么?(3)利用什么知识可以实现转化目标?分析:lABClABC lABCB′如下左图,作点B关于直线l的对称点B′.当点C在直线l的什么位置时,AC与CB′的和最小?如上右图,在连接AB′两点的线中,线段AB′最短.因此,线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.lABCB′ 在直线l上任取另一点C′,连接AC′、BC′、B′C′.∵直线l是点B、B′的对称轴,点C、C′在对称轴上,∴BC=B′C,BC′=B′C′.∴AC+BC=AC+B′C=AB′.在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′,∴AC+BC<AC′+B′C′,即AC+BC最小.lABCB′C′证明:如图. 运用新知练习2如图,一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的M处接游客,然后将游客送往河岸BC上,再返回P处,请画出旅游船的最短路径.ABCPM山河岸大桥 运用新知基本思路:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PM,线段PM为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC,这样问题就转化为“点P,M在直线BC的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与MR的和最小”.ABCPM山河岸大桥 归纳lABClABCB′lABC抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题ABl 如图,A为马厩,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到马厩.请你帮他确定这一天的最短路线.草地小河A问题3 已知:如图,在l1、l2之间有一点A.求作:分别在l1、l2上确定一点M、N,使AM+MN+NA最小.l1l2AMN l1l2如图,作点A关于l1和l2的对称点A1、A2,连接A1A2,交l1于M点,交l2于N点.连接AM和AN,则AM+MN+NA最小.因此,那天这样走路线最短.MNA1AA2 如图:A为马厩,B为帐篷,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到B,请画出最短路径.作法:1.作点A关于直线MN的对称点点C,2.作点B关于直线ON的对称点点D,3.连接CD分别交直线MN、ON于点G、H,则AG+GH+BH最短MNOB.·ACDGH问题4:两点在两条直线内部 ABA/B/PQ最短路线:APQBlMN 问题5(造桥选址问题)如图,A和B两地在同一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)思考:你能把这个问题转化为数学问题吗? 如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么折线AMNB在什么情况下最短呢?分析:aBAbMN由于河宽是固定的,因此当AM+NB最小时,AM+MN+NB最小. 分析:lABCaBAbMNA'如左图,如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′,使AA′等于河宽,则AA′=MN,AM=A′N,问题转化为:当点N在直线b的什么位置时,A′N+NB最小?参考右图,利用“两点之间,线段最短”可以解决. 如图,沿垂直于河岸的方向平移A到A′,使AA′等于河宽,连接A′B交河岸于点N,在点N处造桥MN,此时路径AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解: 另任意造桥M′N′,连接AM′、BN′、A′N′.由平移性质可知,AM=A′N,AM′=A′N′,AA′=MN=M′N′.∴AM+MN+BN=AA′+A′B,AM′+M′N′+BN′=AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中,由线段公理知A′N′+BN′>A′B,∴AM′+M′N′+BN′>AM+MN+BN.证明:aBAbMNA'N′M′ 归纳抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题lABC 小结归纳lABClABCB′转化轴对称变换平移变换两点之间,线段最短.
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初中 - 数学
发布时间:2021-11-02 13:00:40
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