云南省红河州 2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附答案）

开远市第一中学校2023年秋季学期高二年级9月考试数学2023.09考生注意：1.本试满分150分，考试时间120分钟。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则复数（    ）A．B．C．D．2．已知集合，，则（    ）A．B．C．D．3．已知双曲线的离心率为．则C的渐近线方程为（    ）A．B．C．D．4．若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（    ）A．B．C．D．5．“”是“直线与直线互相垂直”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（    ）A．B．C．D．7．设的内角，，所对的边分别为，，.若，，则（    ）A．B．C．D．8．已知A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（    ）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题正确的是（    ）A．若定点满足，动点满足，则动点的轨迹是双曲线.B．若定点满足，动点满足，则的轨迹是椭圆.C．当时，曲线表示椭圆.D．双曲线与椭圆有相同的焦点.10．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则具有性质（    ）A．最小正周期为B．图象关于直线对称C．图象关于点对称D．在上单调递减11．在平面直角坐标系中，，，，，设点的轨迹为，下列说法正确的是（    ）A．轨迹的方程为B．面积的最大值为C．的最小值为D．若直线与轨迹交于，两点，则12．嫦娥五号探测器是我国第一个实施无人月面取样返回的月球探测器．如图所示，现假设该探测器沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦半距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长，则下列式子正确的是（    ）A．B．C．D． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知平面向量a=-2,1，b=(3,k)，c=(-5,4)，若a⊥b，则(a+b)·c=．14．某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如右侧折线图所示，则这10名同学成绩的分位数是.15．已知函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则当取最小值时，椭圆的离心率为． 16．如右图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则用集合列举法表示组成的集合是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝30°，∠ABC＝135°，AD＝6，BD＝5，BC＝．(1)求cos∠DBA；(2)求CD长．18．如图所示的多面体是由三棱锥与四棱锥对接而成，其中EF⊥平面AEB，，，，，，是的中点.(1)求证：；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19．2023年7月11日第64届国际数学奥林匹克竞赛结果公布，中国队6名参赛选手全员金牌，再夺第一．某班级为了选拔数学竞赛选手，举行初次选拔考试，共有排好顺序的两道解答题．规定全部答对者，通过选拔考试．设甲答对第一道和第二道题的概率分别为，，乙答对第一道和第二道题的概率分别为，，甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响．(1)求甲，乙都通过考试的概率;(2)记事件“甲、乙共答对两道题”，求．20．已知函数，.（1）求函数的单调递减区间；   （2）若函数在恒成立，求实数的取值范围.21．某房产销售公司从登记购房的客户中随机选取了50名客户进行调查，按他们购一套房的价格（万元）分成6组：，，，，，得到频率分布直方图如右图所示，用频率估计概率.房产销售公司每卖出一套房，房地产商给销售公司的佣金如下表（单位：万元）：房价区间佣金收入123456（1）求的值；并求出房产销售公司卖出一套房的平均佣金；（2）若该销售公司平均每天销售4套房，请估计公司月（按30天计）利润（利润=总佣金－销售成本）.该房产销售公司每月（按30天计）的销售成本占总佣金的百分比按下表分段累计计算：月总佣金不超过100万元的部分超过100万元至200万元的部分超过200万元至300万元的部分超过300万元的部分销售成本占佣金比例22．设椭圆的离心率为，左顶点到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB面积S的最小值． 开远市第一中学校2023年秋季学期高二年级9月月考数学答案命题人：高一数学组出题人：高一数学组2023.09（参考答案）题号123456789101112答案ABBAADCCBDADBDAD13.2314.8.515.2216. 117.(1)(2)【详解】（1）在三角形ABD中，由正弦定理得：，得，，∵∠DBA＜∠ABC，，故不符合题意，∴．（2），在三角形BCD中，由余弦定理得CD＝＝，∴CD＝7．18．(1)证明见解析；(2).【详解】（1）依题意，平面，平面，平面，则有，，又，即，，两两垂直，以点为坐标原点，射线，，分别为，，轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，因，则，，，，，，，则，，因此，，即，所以.（2）由(1)知：是平面的一个法向量，设平面的法向量为，而，，则，令，得，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.19．(1)(2)【详解】（1）设事件“甲答对了道题”，事件“乙答对了道题”，，，，由题意，，，，，，由题意得，甲，乙都通过考试的概率．（2）由题意得，，所以．20．（1）的单调递减区间为;（2）.【详解】（1）  令，解得.故的单调递减区间为（2）由在恒成立，即，恒成立， ∵，则，作出草图，由图知：当，∴，即的取值范围为.21．（1）（2）万元（3）337.2万元【详解】（1）由，得.设卖出一套房的平均佣金为万元，则所以房产销售公司卖出一套房的平均佣金为万元；（2）一个月的总佣金为万元，月利润为万元，所以公司月利润为337.2万元.22．（1）（2）见解析；（3）【详解】（Ⅰ）由已知，）因为故所求椭圆的方程为;（Ⅱ）法一：设，，①当直线l的斜率不存在时，由椭圆对称性知，，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即又因为点在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB的距离为②当直线l的斜率存在时，设其方程为．联立得：所以，由已知，以AB为直径的圆经过坐标原点O，则，且故化简得，故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值法二：（若设直线方程为，也要对直线斜率为0进行讨论）设，①当直线l的斜率为0时，由椭圆对称性知x1=-x2，y1=y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即又因为点在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB的距离为②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为．联立得：所以，故，即,所以,所以,化简得，故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1;当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，由得，同理故 令，则故综上，△AOB面积S的最小值为．法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，，②当直线l的斜率存在时，，且点O到直线AB的距离为，故，令，则，因为，故．综上，△AOB面积S的最小值为．