四川省 校2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附答案）

成都外国语学校高2022级高二上期9月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（）A．2B．C．D．42．已知向量满足，则（）A．B．C．3D．43．在中，若，则C等于（）A．45°B．60°或120°C．135°D．45°或135°4．某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分．已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（）A．该次课外知识测试及格率为90%B．该次课外知识测试得满分的同学有30名C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D．若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名5．已知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于轴对称，则的可能取值为（） A．B．C．D．7．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面为（）A．三角形B．五边形C．平行四边形D．等腰梯形8．为所在平面内一点，且，则动点的轨迹必通过的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知圆锥顶点为S，底面圆心为为底面的直径，与底面所成的角为，则（）A．B．该圆锥的母线长为6C．该圆锥的体积为D．该圆锥的侧面积为10．已知的角所对的边分别为且，则下列说法正确的是（）A．B．C．为等腰非等边三角形D．为等边三角形11．如图，在四边形中，，E为的中点，与相交于，则下列说法一定正确的是（）A．B．在上的投影向量为C．D．若，则12．在正方体中，是侧面上一动点，下列结论正确的是（）A．三棱锥的体积为定值 B．若，则平面C．若，则与平面所成角为D．若平面，则与所成角的正弦最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人．则该校高中学生总数是________人．14．在中，是边上一点，且，P是上的一点，若，则实数的值为_________．15．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为_________．16．已知的内角的对边分别为，且，角的平分线与交于点，且，则的值为_________．四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18-22题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．四棱锥的底面为正方形，为的中点．（1）证明：平面；（2）若平面，证明：． 18．设为平面内的四点，且．（1）若，求点的坐标；（2）设向量，若向量与平行，求实数的值．19．为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），将全部数据按区间分成8组，得到如下的频率分布直方图：（1）求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）．20．已知函数的图象如图所示（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）若函数，满足对任意的恒成立，求实数的取值范围．21．在中，角所对的边分别是，且．（1）求角的大小；（2）若是锐角三角形，求的面积的取值范围．22．如图，是平面四边形，为正三角形，．将沿 翻折，过点作平面的垂线，垂足为．（1）若点在线段上，求的长；（2）若点在内部，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．成都外国语学校高2022级高二上期9月月考数学参考答案一、单项选择题：1、A2、A3、D4、C5、B6、D7、A8、C二、多项选择题：9、AB10、BD11、ABC12、ACD三、填空题：13、180014、15、16．四、解答题17．【详解】（1）设与交于点，连接，因为底面是正方形，所以为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面平面，所以平面．（2）因为底面是正方形，所以，又因为平面平面，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以．18．【详解】（1）设，因为，于是，整理得，即有，解得，所以．（2）因为，所以， 因为向量与平行，因此，解得，所以实数的值为．19．【详解】（1）由直方图可得，样本落在的频率分别为，由，解得，则样本落在的频率分别为，所以月用电量的平均值为（2）为了使的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的分位数；的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的分位数．因为，则使的居民缴费在第一档，月用电量的分位数位于区间内，于是．又，所以对应的用电量为350．所以第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是．20．【详解】（1）由图可知：，所以，所以由图易得，则，又，则，则所以，所以．令，解得， 所以的单调递增区间为．（2）由题．当时，．因为对任意的恒成立，则，即所以．21．由正弦定理得，可化为：，即又由于，所以可得即，由于，所以，化简为，因为，则，所以，所以．【小问2详解】由正弦定理知，所以，那么， 又由，解得，所以，即，故的面积的取值范围为．22．【详解】平面平面，，在中，，在中，，，由于为等腰直角三角形，为中点，（2）方法一：当点在内部，知平面平面，则，设是的中点，连接，为正三角形，，平面平面，平面为二面角的平面角．设点到平面的距离为，则， 过点作，连接，由平面在的中垂线上，设，则，由等体积法得：，，即，，解得，所以．方法二：当点在内部，知平面，此时在线段（不含端点）上．为二面角的平面角．由于平面，过点作交于，连接，，又因为平面，平面平面平面，过点作，交于点，又平面平面平面．设为直线与平面所成的角，则点到平面的距离为，，解得，在中，可设由于，解得．在中，， 所以．