江苏省常熟市2023-2024学年高一数学上学期学生暑期自主学习调查试题（Word版附解析）

学生暑期自主学习调查高一数学注意事项：答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.一、单选题（本大题共12小题，每题只有一个正确答案，每小题5分，满分60分）1.下列因式分解正确的是（）A.B.C.D.2.若有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则在中最大的是（）A.B.C.D.3.不论a，b为何实数，的值（）A.总是正数B.可以是负数C.可以零D.一切实数4.分式的值为0，则x的值为（）A.B.1C.或1D.25.不等式解为（）A.B. C.或D.或6.下列四个不等式中解为一切实数的是（）A.B.C.D.7.满足的x的个数为（）A.0B.2C.3D.多于3个8.若一元二次不等式有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.且B.C.且D.9.一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（）A.B.C.D.10.如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点.若该抛物线的对称轴上存在点Q满足是等腰三角形，则点Q的坐标不可能是（）A.B.C.D. 11.已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则a的取值范围是（）A.B.C.D.以上都不正确12.如图，二次函数图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①，②，③，④其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13因式分解：______.14.关于x的分式不等式的解为______.15.已知二次函数，的最小值是3，最大值是7，则实数m的取值范围是______.16.已知关于的方程的两根分别是，，则的最小值是______.三、解答题：（共6小题，共70分.解答时应写出适当的文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷的指定方框内）17.先化简再求值：，其中，.18.当x取何值时，函数值最小？最小值是多少？ 19.解关于x的不等式：（其中）.20.（1）求函数，的最小值.（2）求函数，的最大值.21.已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根.（1）若，均为正根，求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.22.如图1，抛物线与x轴交于，两点.（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，在（1）中抛物线的第二象限部分是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由. 学生暑期自主学习调查高一数学注意事项：答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.一、单选题（本大题共12小题，每题只有一个正确答案，每小题5分，满分60分）1.下列因式分解正确是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由提公因式法，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误；故选：C2.若有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则在中最大的是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据数轴上表示的点所在位置即可求解.【详解】解：根据有理数在数轴上对应点位置，得，，所以，，，且，所以故是最大的.故选：C.3.不论a，b为何实数，的值（）A.总是正数B.可以是负数C.可以是零D.一切实数【答案】C【解析】【分析】配方为可得结果.【详解】因为；因为，所以，当且仅当时取等.故选：C.4.分式值为0，则x的值为（）A.B.1C.或1D.2【答案】A【解析】【分析】根据题意，列出方程，然后计算，即可得到结果.【详解】由题意可知，，则，解得或，且，所以 .故选：A5.不等式的解为（）A.B.C.或D.或【答案】B【解析】【分析】根据分式不等式解法求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以不等式的解为.故选：B.6.下列四个不等式中解为一切实数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，逐个分析判断即可得解.【详解】对于A，由可得，所以的解集为，故A正确；对于B，，所以的解集为，故B错误；对于C，可化为，，所以的解集为，故C错误，对于D，由可得，所以的解集为空集，故D错误； 故选：A7.满足的x的个数为（）A.0B.2C.3D.多于3个【答案】B【解析】【分析】根据题意，分，以及讨论，即可得到结果.【详解】当时，方程可化为，解得，符合题意；当时，方程可化为，方程无解；当时，方程可化为，解得，符合题意；故满足方程的x的个数为2个.故选：B8.若一元二次不等式有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A且B.C.且D.【答案】A【解析】【分析】利用一元二次方程的定义可知，且，解不等式即可求出结果.【详解】根据题意可知，即，再由判别式可知，解得，综合可得k的取值范围是且.故选：A9.一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（）A.B. C.D.【答案】B【解析】【分析】分类讨论，和时，由一次函数的单调性与二次函数图象的开口方向，排除一些选项，再由的的正负，确定二次函数对称轴的位置，从而可得最后结果.【详解】若，则一次函数为增函数，二次函数的开口向上，故可排除A；若，则一次函数为减函数，二次函数的开口向下，故可排除D；对于选项C，由直线可知，，从而，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除C.故选：B.10.如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点.若该抛物线的对称轴上存在点Q满足是等腰三角形，则点Q的坐标不可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据直线的解析式，当和时就可以求出点A、B 的坐标，设抛物线的解析式为，根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，求出对称轴，设出Q点的坐标，是等腰三角形的情况分为3种，即A、B、Q分别为等腰三角形的顶点，利用等腰三角形的性质，根据勾股定理、两点之间的距离公式即可求出Q点的坐标．【详解】∵，∴当时，，当时，，∴，，设抛物线的解析式为，由题意，得，解得，∴抛物线的解析式为，∴抛物线的对称轴为，设，①当时，如图，过点作，交对称轴于.由勾股定理可得，，得，解得，∴；②当是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，，如图. ，解得或，当Q点的坐标为时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去，则此时Q的坐标是；③当时，如图.，解得，则Q的坐标是和，综上所述：Q的坐标可能为．故选：D.11.已知关于x的不等式的解也是不等式的解，则a的取值范围是（）A.B.C.D.以上都不正确【答案】C【解析】【分析】先解不等式可得，，再由关于x的不等式的解也是不等式的解，则且，即可得出答案.【详解】由，可得，即，若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为，因为不等式的解也是不等式的解，所以且，所以且，所以.故选：C.12.如图，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①，②，③，④其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质求得正确答案.【详解】设，依题意，，由图可知，①正确；由图可知，对称轴，，②正确，由图可知，， ，，，，③正确；由图可知，④错误.所以正确的个数是个.故选：C二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.因式分解：______.【答案】【解析】【分析】利用立方差公式和十字相乘法计算即可.【详解】.故答案为：.14.关于x的分式不等式的解为______.【答案】且【解析】【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案.【详解】由得，，则，解得且， 所以原不等式的解集为且.故答案为：且15.已知二次函数，的最小值是3，最大值是7，则实数m的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】画出二次函数的图象，结合图象求得的取值范围.【详解】画出二次函数的图象如下图所示，若当时，函数的最小值是3，最大值是7，由图可知，的取值范围是.故答案为：16.已知关于的方程的两根分别是，，则的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根据根与系数关系以及二次函数的性质求得正确答案.【详解】由于方程有两个根，所以，且， ，函数的开口向上，对称轴为，所以当时，取得最小值为.故答案为：三、解答题：（共6小题，共70分.解答时应写出适当的文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷的指定方框内）17.先化简再求值：，其中，.【答案】，【解析】【分析】通分，结合平方差、完全平方公式进行化简运算，再代入求值，即可.【详解】原式.当，时，原式.18.当x取何值时，函数的值最小？最小值是多少？【答案】当，时，函数取得最小值为3.【解析】【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此求得函数的最小值以及此时对应的的值.【详解】当时，，此时.当时，，此时. 当时，，此时.综上，当时，函数值最小，最小值为3.19.解关于x的不等式：（其中）.【答案】或.【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法，分类讨论即可.【详解】解：不等式可化为.当时，不等式化为，解得.当时，不等式化为，由于，解得或.综上，当时，解得；当时，解得或.20.（1）求函数，的最小值.（2）求函数，的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】【分析】对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得正确答案.【详解】（1）函数.当时，，；当时，，.（2）函数. 当时，即时，当时，有.当时，即时，当时，有.21.已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根.（1）若，均为正根，求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根据题意，结合韦达定理列出不等式，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由韦达定理可得，然后代入原式计算，即可得到结果.【小问1详解】因为，是一元二次方程的两个正实根，所以，解得.【小问2详解】由题意，解得.因为，， 所以.若，即，即，所以，符合题意.22.如图1，抛物线与x轴交于，两点.（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，在（1）中抛物线的第二象限部分是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，点Q的坐标是（3）存在，答案见解析，.【解析】【分析】（1）根据两点的坐标列方程组，由此求得，也即求得抛物线的解析式.（2）先求得点的坐标，利用直线的方程求得点的坐标.（3）先求得面积的表达式（或利用割补法），然后利用二次函数的性质求得面积的最大值.【小问1详解】根据题意得：，解得， 则抛物线的解析式是.【小问2详解】由题知两点关于抛物线对称轴对称，所以直线BC与的交点即为点，此时周长最小，对于，令，则，故点，设的解析式是，则，解得，则的解析式是.当时，.所以点Q的坐标是.【小问3详解】解法一：过点P作y轴的平行线交BC于点D，设点，则PD与BC的交点，所以，所以.因为，所以的面积最大值是. 解法二：设点.因为.若有最大值，则就最大，所以，当时，最大值.所以最大值.求解二次函数的解析式，可以考虑待定系数法，如一般式，需求三个参数.顶点式，需求三个参数.两根式，需求三个参数.