江苏省苏州市常熟市2023-2024学年高二数学上学期学生暑期自主学习调查试题（Word版附解析）

学生暑期自主学习调查高二数学2023.09注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卷交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置.3.请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出结论.【详解】任取，则，其中，所以，，故，因此，.故选：C.2.已知命题，则的否定是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根据含有量词的命题否定方法来求解.【详解】因为命题，所以的否定是.故选：D.3.在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】D【解析】【分析】根据线面的位置关系及判定方法求解.【详解】若，，，则或异面，故A错误；若，，则或，故B错误；若，，，可能有，故C错误；若，，则，又，则，故D正确，故选：D.4.函数在的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数解析式，结合特殊值，即可判断函数图象.【详解】设，则，故为上的偶函数，故排除B．又，，排除C、D．故选：A．【点睛】本题考查图象识别，注意从函数的奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断，本题属于中档题.5.在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的加减法的几何意义将转化为、即可.【详解】.故选：D. 6.已知，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出，利用差角公式求解答案.【详解】因为，所以，所以；.故选：A.7.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧.若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且，则该球体建筑物的高度约为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据圆的切线性质，结合正弦的二倍角公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】如图所示：设球的半径为，则， ，，所以故选：B8.在四面体中，已知二面角为直二面角，，，，设.若满足条件的四面体有两个，则t的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】取中点为，连接，由直二面角可得平面，，结合余弦定理与勾股定理可得，根据四面体有两个，结合二次函数根的分布即可求得t的取值范围.【详解】取中点为，连接因为，，为中点，所以，且， 因为平面，又二面角是直二面角，所以平面，又平面，所以在中，，由余弦定理得：又所以，即设，即，满足条件的四面体有两个，所以有两个正根，所以，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错或不选的得0分.9.已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A.B.C.若，则复数对应的点位于第四象限D.已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆【答案】AD【解析】【分析】根据复数的乘方运算法则，复数模的几何意义逐一判断即可.【详解】A：，本选项正确；B：因为两个复数不能比较大小，所以本选项不正确；C：因为，所以复数对应的点位于第二象限，因此本选项不正确；D：因为，所以在复平面内对应的点的轨迹为圆心为，半径为3的圆，因此本选项正确， 故选：AD10.袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（）A.甲与乙是对立事件B.甲与乙是互斥事件C.丙与丁相互独立D.甲与丁相互独立【答案】BD【解析】【分析】先求出事件对应的概率，再由互斥事件的概念及概率和是否为1判断A、B选项，再由独立事件的概率公式判断C、D选项即可.【详解】设甲、乙、丙、丁事件分别对应，则，，丁包含的基本事件有，则，，；对于A、B，显然甲乙事件不能同时发生，又，则A错误；B正确；对于C，，则，则C错误；对于D，，则，D正确.故选：BD.11.若定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A.为偶函数B.在上单调递增C.在上单调递增D.的最小正周期【答案】ABD【解析】【分析】由可得函数图象关于对称，通过图象的平移判断选项A正确；由函数为奇函数结合，可得函数的周期为，判断选项D正确；由时， ，结合函数的奇偶性和对称性，可得函数的单调性，判断出B正确，C错误．【详解】由得函数的图象关于对称，函数的图象是由函数的图象向左平移一个单位长度得到的，所以函数的图像关于y轴对称，所以函数是偶函数，故A正确；由得，所以，的最小正周期为，故D正确；当时，，因为是定义在上的奇函数，所以当时，，且，所以在上单调递增，在上单调递减，因为的最小正周期，所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误.故选：ABD12.如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是的中点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.四棱锥外接球的半径为C.若，则的最大值为D.若，则的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】求出的体积，即可判断A，由正方体的性质可得四棱锥为正四棱锥，设，则四棱锥外接球的球心在直线上，利用勾股定理求出外接球的半径，即可判断B，过点作，则点是的中点，连接，取的中点，连接， ，，即可证明平面，从而得到点的轨迹是线段，再求出的最值，即可判断C、D.【详解】对于A：三棱锥的体积为，因为点是的中点，所以的面积是定值，且点到平面距离是正方体的棱长，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B：由正方体的性质可得四棱锥为正四棱锥，设，则平面，所以四棱锥外接球的球心在直线上，设外接球的半径为，则，，，所以，在中，，即，解得，故B正确；对于C： 过点作，则点是的中点，连接，取的中点，连接，，，因为且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，又，所以，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以平面，因为平面平面，又，所以点的轨迹是线段，在中，，，，所以的最大值为，此时与重合，故C错误；对于D：在中，，所以，所以点到的距离为，所以的最小值为，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：______.【答案】11 【解析】【分析】根据给定条件，利用对数运算、指数运算求解作答.【详解】.故答案为：1114.若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则这个圆锥表面积为________．【答案】【解析】【分析】设圆锥底面半径为，扇形的弧长为，利用弧长公式、圆锥的侧面积公式计算可得答案.【详解】设圆锥底面半径为，扇形的弧长为，因为，所以，所以，.故答案为：.15.写出一个定义域不是R，但值域是R奇函数f(x)=___.【答案】tanx（答案不唯一，合理即可)【解析】【分析】根据所学函数合理构造选择即可.【详解】由正切函数性质可知满足条件，即.故答案为：(答案不唯一)16.在锐角三角形ABC中，已知，则______，的最小值是______.【答案】①.3②.##【解析】 【分析】先由正弦定理化角为边，再用余弦定理化边为角，结合三角恒等变换可得；利用，得出，结合基本不等式求得最小值.【详解】因为，由正弦定理得，从而，则，所以，即有，即.，则，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故答案为：3，.四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知复数.（1）若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围；（2）若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据在复平面内的对应点位于第二象限的特征进行求解即可；（2）根据线纯虚数的定义，结合复数的乘方运算法则、投影向量的定义进行求解即可.【小问1详解】在复平面内的对应点为，因为点位于第二象限，所以，解得.所以的取值范围为；【小问2详解】因为为纯虚数，所以，解得，所以，所以，，∴点，.所以.即向量在向量上的投影向量的坐标为.18.某企业为了深入学习贯彻党的二十大精神，组织全体120位党员开展“学习二十大，争当领学人”党史知识竞赛，所有党员的成绩均在内，成绩分成5组，按照下面分组进行统计分析：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，并绘制成频率分布直方图如图所示，按比例分配的分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人作为企业“二十大精神”的宣传使者． （1）根据频率分布直方图，估计党员成绩的样本数据的第80百分位数；（2）若从6位宣传使者中随机选取两人参加宣传活动，求第3组中至多有一人被选中的概率．【答案】（1）92.5（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出小于90分的党员成绩所占比例，可得党员成绩的样本数据的第80百分位数位于内可得答案；（2）按比例分配的分层抽样的方法选取第3组党员人数，将第3组三位党员编为A，B，C，其他组三位党员编为D，E，F，用，表示两位党员，则可以用表示随机选取两人的组合，用列举法可得答案．【小问1详解】根据频率分布直方图，小于90分的党员成绩所占比例为，所以党员成绩的样本数据的第80百分位数位于内，由，可以估计党员成绩的样本数据的第80百分位数为92.5；【小问2详解】由频率分布直方图可知，第3，4，5组党员人数的比例为，按比例分配的分层抽样的方法选取第3组党员人数为人．将第3组三位党员编为A，B，C，其他组三位党员编为D，E，F，用，表示两位党员，则可以用表示随机选取两人的组合，设事件“从宣传使者中随机选取两人，第3组中至多有一人被选中”，试验的样本空间，，所以， 从而．19.已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）求的解析式及单调减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和.【答案】（1），单调减区间为.（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化简可得，再函数性质可求得解析式，根据整体代换可求出单调递减区间；（2）由三角函数平移规则可知，再根据三角函数值域以及方程的根可求出方程的所有根之和为.【小问1详解】由题意可知，函数，又因为函数为奇函数，所以可得，，又，解得因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，可得周期，由可得.故函数. 令，可得单调减区间为，.【小问2详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数.由方程得或，即或（舍）当时，，所以或或或；即方程有四个实数根，不妨设为；可得.所以，故所有根之和为.20.记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．（1）若，求；（2）若，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.【小问1详解】方法1：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以.方法2：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以.【小问2详解】 方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.21.如图，四棱锥中，平面，，，且，，.（1）求证：；（2）已知为线段上一点，若与平面所成角的正切值为，试确定点位置；并求此时二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）为的中点，【解析】【小问1详解】因为，，，， 所以四边形是直角梯形，且，，故，即.又平面，平面，所以.又，且平面，所以平面，又平面，所以；【小问2详解】过点作于点，连接，因为平面，平面，所以，因为平面，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面，则为与平面所成的角.设，则，，，由得解得或（舍去），所以为的中点.过点作于点，连接，因为平面，平面，所以，又，平面，故平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，在中，，所以，即为的中点，且此时二面角的大小为. 22.已知函数过定点，且点在函数的图象上，.（1）求函数的解析式；（2）若定义在区间上的函数有零点，求整数的值；（3）设，若对于任意，都有，求的取值范围.【答案】（1）（2）2（3）【解析】【分析】（1）根据指数的运算性质，结合代入法进行求解即可；（2）根据函数零点的定义，结合二次函数的性质进行求解即可；（3）根据指数运算性质，结合配方法、二次函数的性质进行求解即可.【小问1详解】函数过定点，因为的图像过点，所以，解得，所以函数的解析式为；【小问2详解】由（1）可知，，∵函数定义在区间上，∴在区间上恒成立，可得.可知，令，得，设，， 则函数在区间上有零点，等价于函数在上有零点，∵开口向上，对称轴，所以，解得，所以，因为，所以的值为2.【小问3详解】由题只需，因为，又因为且，所以且，所以的最大值可能是或，因为，可知，所以，设，在上单调递增，又，∴，即，所以，所以取值范围是.