江苏省南菁高中、梁丰高中2023-2024学年高三数学上学期8月自主学习检测试题（Word版附解析）

江苏省南菁高级中学2023-2024学年第一学期高三年级自主学习检测试卷数学学科（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由集合交集运算可得.【详解】，故选：D2.已知（为虚数单位），其中，为实数，则，的值分别为（）A.，1B.1，C.1，1D.，【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法运算，及实部等于实部，虚部等于虚部列式求解即可.【详解】由，得，得，所以解得故选A.3.设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（）A.1B.17C.1或17D.8【答案】B【解析】 【分析】先求出P点的位置，再根据双曲线的定义求解.【详解】对于，，所以P点在双曲线的左支，则有；故选：B.4.为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么高三年级被抽取的人数为（）A.36B.42C.50D.54【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样，结合抽样比计算即可.【详解】根据分层抽样的方法，抽样比为，高三年级被抽取的人数为人.故选：D5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，分别由，，求解即可.【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则，解得，又，解得，所以圆锥的高为，所以圆锥的轴截面的面积是，故选：B 6.已知，，则（）A.B.C.2D.－2【答案】B【解析】【分析】根据同角关系可得，由正切的二倍角公式以及诱导公式即可求解.【详解】因为所以由得，因此，由二倍角公式可得，故选：B7.某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，分为连中4次，额外加3分，剩余3次不中、连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续和有两次连中两回，三类情况，结合独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】根据题意，该学生在此次训练中恰好得7分，可分为三类情况：①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中 排序，共有种选择，故概率为，②若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为，③若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，则概率为，综上，该生在比赛中恰好得7分的概率为.故选：B.8.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令，，利用导数判断其单调性，进而可得；令，，利用导数判断其单调性，进而可得.【详解】令，，则，则在上单调递减，所以，可知对任意的恒成立，可得，即；对于，，由，. 令，，则，则在上单调递增，所以，即，所以.综上所述：.故选：C.二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（）A若，，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】ABC【解析】【分析】由空间中线面位置关系可判断.【详解】由，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，知：在A中，若，，，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，，则与相交或平行，故B错误；在C中，若，，，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，，，则由线面垂直，线线平行的性质可得，故D正确.故选：ABC.10.已知圆，以下四个结论正确的是（    ）A.过点与圆M相切的直线方程为B.圆M与圆相交 C.过点可以作两条直线与圆M相切D.圆M上的点到直线的距离的最大值为3【答案】ACD【解析】【分析】根据点和圆的位置关系、圆的切线方程、圆与圆的位置关系、圆上的点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，圆的圆心，半径，对于A，点在圆M上，圆心M到直线距离为1，即过点与圆M相切的直线方程为，A正确；对于B，圆的圆心，半径，则有，即圆M与圆N外离，B不正确.对于C，点在圆M外，则过点可以作两条直线与圆M相切，C正确；对于D，圆心到直线的距离，则圆M上的点到直线的距离的最大值为，D正确；故选：ACD11.在平面直角坐标系中，点是抛物线的焦点，两点、在抛物线上，则下列说法正确的是（）A.抛物线的方程为B.C.以为直径的圆的方程是D.、、三点共线【答案】ABD【解析】【分析】将点的坐标代入抛物线的方程，结合，求出的值，可判断A选项；将点 的坐标代入抛物线的方程，结合求出的值，可判断B选项；求出以为直径的圆的方程，可判断C选项；根据、的关系可判断D选项.【详解】对于A，因为在抛物线上，所以，又，解得，所以，抛物线的方程为，故A正确；对于B，因为在抛物线上，所以，又，解得，故B正确；对于C，，，则以为直径的圆的圆心为，半径，所以，以为直径的圆的方程是，即，故C错误；对于D，因、、，所以，，所以，所以，，三点共线，故D正确.故选：ABD.12.已知，则下列说法中正确的有（）A.的零点个数为4B.的极值点个数为3C.轴为曲线的切线D.若则【答案】BCD【解析】【分析】利用导函数研究函数的大致图像判断ABC，利用对称性判断D即可.【详解】由题意， 令，得到．分别画出和的图像，如图所示：由图知：有三个解，即有三个解，分别为．所以为增函数，为减函数，为增函数，为减函数．所以当时，取得极大值为0，当时，取得极小值为，当时，取得极大值为0，所以函数有两个零点，三个极值点，A错误，B正确．因为函数的极大值为0，所以轴为曲线的切线，故C正确；因为，所以若则，D正确；故选：BCD三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，则__________.【答案】4 【解析】【分析】根据模长的坐标表示可得，再结合数量积的运算律运算求解.【详解】因为，所以，又因为，所以.故答案为：4.14.设等差数列的前项和为，已知，则__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】因为，根据等差数列的性质，可得，所以.故答案为：.15.已知函数，则______．【答案】2022【解析】【分析】首先求出函数的周期，再求出，根据周期性计算可得.【详解】易知函数的最小正周期，而，由周期性知，这样连续六项的和均为，而共有项，，所以． 故答案为：16.已知函数，则的零点为___________，若，且，则的取值范围是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】根据分段函数以及零点的定义，令即可解得函数的零点；由可知在1的左右两侧，分别代入计算得出的关系式，将消元之后构造函数即可求得其取值范围.【详解】令，即，解得不合题意，舍去；或，解得，符合题意；所以，函数的零点为.由，且可知，当时，,不合题意；当时，，不合题意；所以，分别属于两个区间，不妨取，则，即；所以，则，令，所以令，得，当时，，即函数在上为单调递减； 当时，，即函数在上为单调递增；所以函数在时取最小值，即，即所以的取值范围是.故答案为：；【点睛】方法点睛：本题在求解的取值范围时首先应确定两个变量的取值范围，根据等量关系将双变量问题消元，转换成单变量问题后构造函数，利用自变量取值范围即可求得结果.四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，角所对的边分别为，．（1）求角；（2）若的面积为，且，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换化简题干条件，从而得解；（2）利用三角形面积公式与余弦定理分别得到与的值，从而求得，由此得解.【小问1详解】，由正弦定理得，即，即，，，【小问2详解】 ，又，所以，即（负值舍去），又，所以的周长为.18.已知数列的首项，且满足.（1）求证：是等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明；（2）先根据等比数列的通项公式可得，再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求解.【小问1详解】因为，即，则，又因，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.【小问2详解】由（1）知，所以.所以 ，当为偶数时，可得；当为奇数时，可得；综上所述：.19.如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．（1）证明：平面；（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；是上靠近的三等分点【解析】【分析】（1）过点作于点，由面面垂直性质定理可得平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点的位置；【小问1详解】过点作于点，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以， 又平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面．【小问2详解】假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，即取，，，所以为平面的一个法向量，因为在线段上（不含端点），所以可设，，所以，设平面的一个法向量为，即，取，，，所以为平面的一个法向量，，又， 由已知可得解得或（舍去），所以，存在点，使得二面角的余弦值为，此时是上靠近的三等分点．20.元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动.在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：一般激动总计男性90120女性25总计200（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：，其中． 0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）2×2列联表见解析，该场活动活动的观感程度与性别无关（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）写出零假设，补全2×2列联表，计算的值，并与临界值比较，得出结论；（2）分别求出一次摸球摸出0，1，2个红球的概率，写出X的所有可能取值及对应取值的概率，写出X的分布列并计算其数学期望.【小问1详解】补全的2×2列联表如下：一般激动总计男性3090120女性255580总计55145200零假设为：性别与对活动的观感程度相互独立.根据表中数据，计算得到根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此我们可以认为,成立，即认为对该场活动活动的观感程度与性别无关.【小问2详解】设一次摸球摸出2个红球的事件为A，摸出1个红球的事件为B，没摸出红球的事件为C，则，，，由题意，X可取． ，，，，，所以X的分布列为：X200150100500P.21.已知函数，.（1）若，其中是函数的导函数，试讨论的单调性；（2）证明：当时，.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时在单调递增，在单调递减，（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）先计算可得表达式，再计算，分别讨论和解不等式和即可求解；（2）当时，，设，利用导数研究的单调性和最小值，证明即可.【详解】（1）的定义域为，，，，当时，恒成立，此时在上单调递增；当时，即可得，所以， 由即可得，所以，所以当时在单调递增，在单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时在单调递增，在单调递减，（2）当时，，设，则，令，则，所以在上单调递增；且，所以时，即，此时单调递减，当时，即，此时单调递增，所以在上单调递减，在单调递增，所以，所以对于恒成立，所以.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.22.在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为． （1）求的方程；（2）过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由．【答案】（1）（）；（2）是，定点为.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用斜率坐标公式列式化简作答.（2）设出点的坐标，由已知探求出点的坐标关系，再按直线斜率存在与否分类讨论求解作答.【小问1详解】设动点，则直线、的斜率分别为，于是，整理得，显然点不在轨迹上，所以的方程为（）.【小问2详解】设直线上的点，显然，依题意，直线的斜率满足，且，直线斜率，则，有，设，，则（且），当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为， 消去y得，则，，又，即，则，整理得，解得或，此时方程中的，当时，直线：恒过点，当时，直线：，由于舍去，当直线时，则有，即有，而，解得，直线：过点，