湖北省黄冈市2023-2024学年高三数学上学期9月调研考试试题（Word版附解析）

黄冈市2023年高三年级9月调研考试数学试题黄冈市教育科学研究院命制注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可【详解】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：对于A：，A错误；对于B：，B错误；对于C：，C错误；对于D：，D正确.故选：D.2.若复数，则（）A.0B.C.1D.2 【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的求和公式以及的周期性即可求解.【详解】，故选：A3.已知数列是正项等比数列，数列满足.若，（）A.24B.32C.36D.40【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.【详解】因为是正项等比数列，，所以，则，所以.故选：C.4.柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】运用柯西不等式直接求解即可.【详解】该函数的定义域为，由柯西不等式可得：， 当且仅当时取等号，即当时取等号，故选：A5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.【详解】由题意有：，∴，又，∴.故选：A.6.已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦型函数的对称性、奇偶性、单调性进行求解即可.【详解】因为函数在内单调递减，是函数的一条对称轴， 所以有，所以，因为是奇函数，所以，由可得：，而，所以，当时，，因为，所以，即，当时，，显然此时函数单调递减，符合题意，所以；当时，，因为，所以，即，当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，故选：D7.在中，，，，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理求出，进而得到，，从而求出 ，利用三角形面积公式求出答案.【详解】由正弦定理得，因为，，，所以，故，则，因为，所以，，故，故.故选：D8.已知函数及其导函数定义域均为，记，且，为偶函数，则（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】对两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可.【详解】因为为偶函数，，所以，对两边同时求导，得，所以有所以函数 的周期为，在中，令，所以，因此，因为为偶函数，所以有，，由可得：，所以，故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是对两边同时求导，再利用赋值法进行求解.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下说法正确的有（）A.“”是“”的必要不充分条件B.命题“，”的否定是“，”C.“”是“”的充分不必要条件D.设，，则“”是“”的必要不充分条件【答案】CD【解析】【分析】根据充分、必要条件、存在量词命题的否定等知识确定正确答案.【详解】A选项，，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，A选项错误.B选项，因为由，得，即，命题“，”的否定是“，”，所以B选项错误.C选项，； 所以，所以“”是“”的充分不必要条件，所以C选项正确.D选项，由于，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D选项正确.故选：CD10.已知，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据对数运算、基本不等式等知识确定正确答案.【详解】依题意，，则，，所以，所以，所以A选项正确.，所以B选项正确.，则，所以，所以C选项正确.，所以，所以D选项错误.故选：ABC11.设数列前项和为，满足，且，则下列选项正确的是（） A.B.数列为等差数列C.当时有最大值D.设，则当或时数列的前项和取最大值【答案】ABD【解析】【分析】A选项，根据求出为等差数列，公差为，首项为，得到通项公式；B选项，计算出，得到，从而得到，得到B正确；C选项，根据及二次函数的最值得到C错误；D选项，先得到时，，，，当时，，且，得到结论.【详解】A选项，当时，，又，解得，当时，①，②，①-②得，，即，故，因为，所以不能对任意的恒成立，故，所以，故为等差数列，公差为，首项为，所以通项公式为，A正确；B选项，， 故，则当时，，故为等差数列，B正确；C选项，，故当时，取得最大值，C错误；D选项，令得，令得，则当时，，当时，，当时，，当时，，又，，则当或时数列的前项和取最大值，D正确.故选：ABD12.点，分别是的外心､垂心，则下列选项正确的是（）A若且，则B.若，且，则C.若，，则的取值范围为D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】A.根据向量的运算以及基本定理的推理，确定点的位置，即可判断A；B.根据条件，确定的形状，即可判断B；C.建立坐标系，将利用三角函数表示，根据三角函数的性质，即可判断C；根据垂心的性质，得，再结合数量积公式，即可求解.【详解】A.由，可知，点共线， 又可知，点在的角平分线上，所以为的角平分线，与不一定相等，故A错误；B.若，则点是的中点，点又是的外心，所以，，故B正确；C.因为，所以，如图，建立平面直角坐标系，设，，，因为，所以，得，，，，，，则，故C正确；D.因为，所以，即，则，同理，，所以，设，因为，所以， 即，则，，即，则，，，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积公式的应用，以及垂心，外心的综合应用问题，本题的C选项的关键是转化为三角函数表示点的坐标，利用三角函数即可求解，D选项的关键是公式的应用.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量，满足，，且，则与的夹角为___________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】由，由，因为，所以故答案为：14.若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.【详解】因为“使”为假命题，所以“，”为真命题， 其等价于上恒成立，又因对勾函数在上单调递减，在上单调递增，而，所以，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.15.设矩形的周长为12，把沿向折叠，折后交于点，则的面积最大值为___________.【答案】【解析】【分析】作图，令折叠后对应为，且()，易得，再设且，勾股定理列方程得，最后应用三角形面积公式、基本不等式求面积最大值，注意取值条件.【详解】如下图，折叠后对应为，令且，则，由图知：，，，则，所以，而，令且，则，所以，则，则，当且仅当时等号成立， 所以的面积最大值为.故答案为：16.若存在两个不等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.【详解】，构造函数，所以原问题等价于存在两个不等正实数，，使得，显然函数不是正实数集上的单调函数，，设，当时，单调递增，当时，单调递减，故，当时，即时，单调递增，所以不符合题意；当时，即时，显然存在，使得，因此一定存在区间，使得在上异号，因此函数在上单调性不同，因此一定存在两个不等的正实数，，使得成立，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是由构造函数.四､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.设等差数列前项和，，满足，. （1）求数列的通项公式；（2）记，设数列的前项和为，求证.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；（2）利用等差数列前项和公式，结合裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】依题意有，，，又为等差数列，设公差为，，.【小问2详解】由（1）可得，，，，，，.18.已知函数（1）若其图象在点处的切线方程为，求，的值；（2）若1是函数的一个极值点，且函数在上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1），（2） 【解析】【分析】（1）由题意，且，由此即可得解.（2）一方面：由题意，且至少有两个零点（否则单调递增没有极值点）；另一方面：由题意在上恒成立，分离变量即可；结合两方面即可得解.【小问1详解】点在切线上，，①，，②联立①②解得，.【小问2详解】依题意有，，，且，；又，，则时，，即，令，，求导得，所以单调递增，；又，所以的取值范围为.19.设，，函数.（1）求关于的不等式解集；（2）若在上的最小值为，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析； （2）.【解析】【分析】（1）由题可得，然后分类讨论即得；（2）根据二次函数的性质结合条件可得，进而即得.【小问1详解】因为，又，，的解集等价于的解集，当即时，不等式的解集为，当即时，不等式的解集为，当即时，不等式的解集为；综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；【小问2详解】因为，，，函数的对称轴为，抛物线开口向下，又在上的最小值为，，即，，即的取值范围为. 20.已知向量，，设，且的图象关于点对称.（1）若，求的值；（2）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且在区间上的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合正弦的二倍角公式、正弦型函数的对称性、同角的三角函数关系式、两角差的正弦公式进行求解即可；（2）根据函数对称性，结合正弦型函数的性质进行求解即可.【小问1详解】若的图象关于点对称，则，，.，.若，则，同理可得.； 【小问2详解】若函数的图象与的图象关于直线对称，则.因为，所以，而在上的值域为，则，即，因为，所以，，故的取值范围为21.在中，，，分别为角，，所对的边，为边上的高，设，且.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式，求得，再代入二倍角的正切公式，即可求解；（2）首先通过辅助线，构造可得，结合（1）的结果可得的范围，再根据二倍角公式，求得的取值范围.【小问1详解】在中，，若. 又，【小问2详解】由（1）知.如图，在中，过作的垂线，且使，则，，即，得，，,设，，在区间单调递减， ，即,22.已知函数.（1）讨论函数的极值点个数；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据函数极值的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可；（2）利用换元法构造函数，根据导数的性质进行求解即可.【小问1详解】，，.令，方程的判别式为，①：当即时，，单调递增，无极值点；②：当即时，函数有两个零点，，（i）当时.，，当时，单调递减，当时，单调递增，有一个极小值点；（ii）当时，，当与时，单调递增，当时，单调递减，有两个极值点.综上：当时无极值点；当时有两个极值点；当时有一个极小值点.【小问2详解】 不等式恒成立，即.令，，.令，，当时，，单调递增，又，时，不合题意，.当时，单调递减，当时单调递增，.而，.令，，当时单调递增，当时单调递减，，即...