四川省泸县第五中学2023-2024学年高三数学（文）上学期开学考试试题（Word版附答案）

泸县五中高2021级高三上学期开学考试文科数学第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则A．B．C．D．2．已知，则A．B．C．0D．13．从，，，，中任取两个不同的数，记为，则成立的概率为A．B．C．D．4．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=A．B．C．D．5．某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确的是A．若，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差B．若，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数C．若，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差D．若，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数6．已知为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有   A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体8．已知实数满足，则的最大值为A．B．C．D． 9．在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面的距离为A．B．C．1D．10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，过P作的垂线交x轴于点A，若，记椭圆的离心率为e，则A．B．C．D．11．已知，，，则A．B．C．D．12．若时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为A．B．C．D．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出“”的一个充分不必要条件．14．牛膝是苋科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗腰膝酸痛等症状．某农户种植牛膝的时间（单位：天）和牛膝的根部直径（单位：）的统计表如下：20304050600.81.32.23.34.5由上表可得经验回归方程为，若此农户准备在时采收牛膝，据此模型预测，此批牛滕采收时间预计是第天．15．椭圆过点且上顶点到轴的距离为1，直线过点与椭圆交于A，两点且中点在坐标轴上，则直线的方程为．16．已知抛物线C：的焦点为F，过点F作斜率大于0的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，，则的面积为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。17．（12分）某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，若成等差数列，且成绩在区间内的人数为120．(1)求a，b，c的值；(2)估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(3)由成绩在区间[90，100]内的甲、乙等5名学生组成帮助小组，帮助成绩在区间[50，60）内的学生A，B，其中3人帮助A，余下的2人帮助B，求甲、乙都帮助A的概率．18．（12分）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）.（1）证明：平面平面；（2）设三棱锥和四棱锥的体积分别为和，当为中点时，求的值19．（12分）已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．条件①：；条件②：的最小正周期为；条件③：的图象经过点．(1)求的解析式；(2)求的单调递增区间． 20．（12分）已知函数.(1)若，求的值；(2)证明：当时，成立.21．（12分）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，线段上一点满足.记动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)设为原点，曲线与轴正半轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，若，求证：直线经过定点.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．（选修4-4极坐标与参数方程）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；(2)若是曲线上一点，是直线上一点，求的最小值．23．（选修4-5不等式选讲）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）证明：当时，. 泸县五中高2021级高三上学期开学考试文科数学参考答案1．A2．A3．D4．D5．C6．B7．D8．D9．D10．A11．B12．B13．（答案不唯一）14．11015．或或16．17．解：（1）依题意可得：又∵成等差数列，∴且，解得：（2）估计中位数设为t，而的频率为0.41，的频率为0.71,则，∴，解得：，即中位数估计为73，估计平均数为：．（3）5人中，将甲、乙分别编号为1,2，其余3人编号，从这5人中选3人帮助A的所以可能结果有：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5）（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），共10个基本事件，其中满足条件的有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），共3个，故满足条件的概率为.18．解：（1）证明：∵，，，平面∴平面又平面，∴，平面，∴平面平面由，知又平面，平面又平面，∴平面平面（2）∵为中点∴， 点，到平面的距离之比为∴19解：（1）解：.选择①②：因为，所以，又因为的最小正周期为，所以，所以；选择②③：因为的最小正周期为，所以，则，又因为，所以，所以；选择①③：因为，所以，所以．又因为，所以，所以，又因为，所以，所以．（2）解：依题意，令，，解得，，所以的单调递增区间为，.20．解：（1）解法一：由，得，又，所以是的极小值点，故，而，故，若，则，当；当，所以在单调递减，在单调递增，故是唯一的极小值点，也是最小值点，由，所以当且仅当时，解法二：由，得，又，当时，有恒成立，所以在上单调递减， 又，则不成立，当时，令，得，则时，有时，有，即在单调递减，在单调递增，所以的最小值为，，函数在单调递减，单调递增，，当且仅当取等号，故；（2）当时，，设，当时，，又由（1）知，故，当时，，设，则，则在单调递增，，所以，则在单调递增，，综上，，即当时，.21．解：（1）由题意，设，又，则，又因为点在圆上，所以，故曲线的方程为；（2）由题意，，设，则，易得斜率必然存在，所以，设，由图象易知，直线斜率不存在时不符合题意，设直线的方程为，联立曲线的方程，得， 得，所以，由题意知，直线均不过原点，所以，从而，所，解得，满足，所以直线的方程为，恒过定点.22．解：（1）由直线的参数方程，得直线的普通方程为．将代入曲线的极坐标方程，化简得曲线的直角坐标方程为．（2）由（1），设点，由题知的最小值为点到直线的距离的最小值．又点到直线的距离，其中．        当时，的最小值为．的最小值为．23．解：（1）当时，，解得，所以，成立．当时，，恒成立，所以成立．当时，，解得，所以，成立综上，原不等式的解集为（2），，.