四川省泸县第五中学2023-2024学年高三数学（理）上学期开学考试试题（Word版附答案）

泸县五中高2021级高三上学期开学考试理科数学第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则A．B．C．D．2．已知，则A．B．C．0D．13．从，，，，中任取两个不同的数，记为，则成立的概率为A．B．C．D．4．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=A．B．C．D．5．如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，记次独立重复试验中出现“成功”的次数为，则A．B．C．D．6．在的展开式中，的系数为A．120B．84C．210D．1267．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有    A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体8．教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为A．84B．42C．41D．359．在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面的距离为A．B．C．1D． 10．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，过P作的垂线交x轴于点A，若，记椭圆的离心率为e，则A．B．C．D．11．已知，，，则A．B．C．D．12．若时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为A．B．C．D．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出“”的一个充分不必要条件．14．牛膝是苋科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗腰膝酸痛等症状．某农户种植牛膝的时间（单位：天）和牛膝的根部直径（单位：）的统计表如下：20304050600.81.32.23.34.5由上表可得经验回归方程为，若此农户准备在时采收牛膝，据此模型预测，此批牛滕采收时间预计是第天．15．椭圆过点且上顶点到轴的距离为1，直线过点与椭圆交于A，两点且中点在坐标轴上，则直线的方程为．16．已知等腰直角的斜边，沿斜边的高线将折起，使二面角为，则四面体的外接球的表面积为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。17．为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动.这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名.(1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；(2)设表示选出的3人中外科医生的人数，求的均值与方差. 18．如图，已知正三棱柱中，点分别为棱的中点.    (1)若过三点的平面，交棱于点，求的值；(2)若三棱柱所有棱长均为2，求与平面所成角的正弦值.19．某市为了解该市小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了50名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图，如图所示.  (1)由频率分布直方图估计小学生课外活动时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）近似服从正态分布，其中为样本中课外活动时间的平均数.用频率估计概率，在该市随机抽取10名学生，记课外活动时间在内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）.参考数据：当t服从正态分布时，，，.20．已知函数.(1)若，求的值；(2)证明：当时，成立.21．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，线段上一点满足. 记动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程；(2)设为原点，曲线与轴正半轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，直线与曲线交于点，与轴交于点，若，求证：直线经过定点.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．（选修4-4极坐标与参数方程）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；(2)若是曲线上一点，是直线上一点，求的最小值．23．（选修4-5不等式选讲）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）证明：当时，.泸县五中高2021级高三上学期开学考试理科数学参考答案1．A2．A3．D4．D5．B6．C7．D8．B9．D10．A11．B12．B 13．（答案不唯一）14．11015．或或16．17．解：（1）推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数，这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名，设事件表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”，表示“恰好选出2名外科医生”，，互斥，且，，，选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为；（2）由于从6名医生中任选3名的结果为，从6名医生中任选3名，其中恰有名外科医生的结果为，，那么6名中任选3人，恰有名外科医生的概率为，所以，，，.18．解：（1）延长交延长线于点，连接交于点，连接，则过三点的截面就是平面四边形，因为是中点，∥且，所以是的一条中位线，所以∥且，所以； 解法一：取中点连接，因为正三棱柱为的中点，与三棱柱的侧棱平行，所以两两垂直，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，所以，， 设平面的法向量，则，即，令，则，所以，设与平面所成角为，则，与平面所成角的正弦值为；解法二：设点到平面的距离为，连接，因为，是中点，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为等边三角形的边长为2，所以，所以，所以等腰三角形的底边上的高为，所以的面积为，又的面积为，因为，所以，得，又，设与平面所成角为，则，故平面所成角的正弦值为.19解：（1）由图知：平均数为：；（2）由题设，，则，，，由题意知：，则.20．解：（1）解法一：由，得，又，所以是的极小值点， 故，而，故，若，则，当；当，所以在单调递减，在单调递增，故是唯一的极小值点，也是最小值点，由，所以当且仅当时，解法二：由，得，又，当时，有恒成立，所以在上单调递减，又，则不成立，当时，令，得，则时，有时，有，即在单调递减，在单调递增，所以的最小值为，，函数在单调递减，单调递增，，当且仅当取等号，故；（2）当时，，设，当时，，又由（1）知，故，当时，，设，则，则在单调递增，，所以，则在单调递增，，综上，，即当时，.21．解：（1）由题意，设，又，则又因为点在圆上，所以，故曲线的方程为；（2） 由题意，，设，则，易得斜率必然存在，所以，设，由图象易知，直线斜率不存在时不符合题意设直线的方程为，联立曲线的方程，得，得，所以，由题意知，直线均不过原点，所以，从而，，解得，满足，所以直线的方程为，恒过定点.22．解：（1）由直线的参数方程，得直线的普通方程为．将代入曲线的极坐标方程，化简得曲线的直角坐标方程为．（2）由（1），设点，由题知的最小值为点到直线的距离的最小值．又点到直线的距离，其中．        当时，的最小值为．的最小值为．23．解：（1）当时，，解得，所以，成立．当时，，恒成立，所以成立．当时，，解得，所以，成立综上，原不等式的解集为（2），，.