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四川省泸县第五中学2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题(Word版附解析)
四川省泸县第五中学2023-2024学年高二数学上学期开学考试试题(Word版附解析)
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泸县五中2023年秋期高二开学考试数学试题本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题(60分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设,则在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【详解】试题分析:,对应的点为,在第四象限考点:复数运算及其相关概念2.若、是两个不重合的平面,①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则;②设、相交于直线,若内有一条直线垂直于,则;③若外一条直线与内的一条直线平行,则.以上说法中成立的有()个.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据平面与平面平行的判定定理,平面与平面垂直的判定定理,直线与平面平行的判定定理可依次判断得解.【详解】对①,面内有两条相交直线分别平行于面内两条直线,可得这两条相交直线均平行于面,由平面与平面平行的判定定理可知①正确;对②,根据平面与平面垂直的判定定理,一个平面经过另一个平面的垂线可得平面与平面垂直,②错误;对③,根据直线与平面平行的判定定理可知③正确.故选:C. 3.一组数据按从大到小的顺序排列为8,7,,4,4,1,若该组数据的中位数是众数的倍,则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是()A.6,,5B.5,5,5C.5,,6D.4,5,6【答案】C【解析】【分析】利用中位数与众数的定义得到关于的方程,从而得解.【详解】依题意,将这组数据从小到大重新排列得,,,,,,则中位数,众数为,由题意知,解得,所以这组数据的平均数为,则这组数据的方差是,因为,所以这组数据的第百分位数是;故选:C.4.已知中,,,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意,由余弦定理即可得到,从而得到其范围.详解】由题意,在三角形中,由余弦定理可得,,且,,所以. 故选:C5.已知点D为边BC上的中点,点E满足,若,则()A.5B.7C.9D.11【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的线性运算,结合图形即可得解.【详解】依题意,作出图形如下,因为点D为BC上的中点,,所以,则,故,则.故选:D.6.若,则的值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用倍角公式结合齐次式问题运算求解.【详解】由题意可得:.故选:A.7.已知,,则值为()A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由已知条件列方程组可求出和,再利用两角差的余弦公式可求得结果.【详解】因为,,所以,解得,所以,故选:C8.在中,下列命题正确的个数是()①;②;③若,则为等腰三角形;④,则为锐角三角形.A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据向量的运算公式,即可判断选项.【详解】①,故①错误;②.故②正确;③,则,为等腰三角形,故③正确;④若,只能说明中,角是锐角,不能说明其它角的情况,所以不能判断为锐角三角形,故④错误.故选:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知向量,则下列结论正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则【答案】AB 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示判断A,根据向量垂直的坐标表示判断B,根据向量的模的坐标表示判断C,D.【详解】对于A,因为,所以,所以,A正确;对于B,因为,所以,所以,B正确;对于C,因为,所以,所以,C错误;对于D,因为,所以,所以或,D错误;故选:AB.10.声音是由物体振动产生的声波,纯音的数学模型是函数,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音,若一个复合音的数学模型是函数,则()A.函数图像的一个对称中心为B.函数图像的一条对称轴为直线C.函数在区间上单调递增D.将函数图像向左平移个单位后的图像关于y轴对称【答案】AC【解析】【分析】化简得到,根据对称中心对称轴判断A,B选项,根据单调性判断C选项,根据平移判断D选项.【详解】,故A正确;对选项B:当时,,故 的图像不关于对称,B错误;,函数在区间上单调递增,C正确;将函数的图像向左平移个单位后得到,D错误.故选:AC.11.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,下列说法正确的是()A.若有两解B.若有两解C.若为锐角三角形,则b的取值范围是D.若为钝角三角形,则b的取值范围是【答案】AC【解析】【分析】根据三角形的构成,可判断三角形有几个解所要满足的条件,即,有两解,或,有一解,,有0解,根据直角三角形的情况,便可得出为锐角或钝角三角形时,b的取值范围.【详解】A选项,∵,∴有两解,故A正确;B选项,∵,∴有一解,故B错误;C选项,∵为锐角三角形,∴,即,故C正确;D选项,∵为钝角三角形,∴或,即或,故D错误.故选:AC12.在正方体中,点是线段上一动点,则下列各选项正确的是() A.B.平面C.三棱锥的体积是定值D.直线与平面所成角随长度变化先变小再变大【答案】ABC【解析】【分析】本题利用立体几何中线面垂直的判定、面面平行的判定对A,B选项进行判断;由等体积法可判断C;D选项需要结合线面角的相关知识点,通过转化的思想去解决.【详解】解:对于A,连接,,,,由正方体的性质可得:,平面,平面,所以,,平面,所以平面,因为平面,所以同理可得,,平面,平面平面,,故A正确;对于B,连接,易证:,因为平面,平面,所以平面,因为平面,平面,所以平面,又平面,故平面平面,平面,平面,故B正确; 对于C,设到平面的距离为,连接,,因为平面,所以,点是线段上一动点,又因为,因为平面,平面,所以平面,所以点到平面的距离为定值,也为定值,所以三棱锥的体积是定值,故C正确;对于D,连接,平面,即为直线与平面所成角,,当从移动至的过程中,增大,先变小再变大,即先变大再变小,故D错误;故选:ABC.第II卷非选择题(90分)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某校高二年级有1000名学生,其中文科生有300名,按文理生比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为50的样本,则应抽取的理科生人数为________.【答案】35【解析】【分析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】应抽取的理科生人数为:.故答案为:.【点睛】本题考查了分层抽样,意在考查学生的理解能力和计算能力.14.某圆锥体积为1 ,用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台,若圆台上底面和下底面半径之比为,则该圆台体积为______【答案】##【解析】【分析】先利用比值与锥体的体积公式求得小圆锥的体积,再利用作差法即可得到圆台的体积.【详解】依题意,设小锥体的底面半径为,小锥体的高为,则大锥体的底面半径为,大锥体的高为为,因为大圆锥的体积即为,整理得,所以小圆锥的体积为,因此该圆台体积为.故答案为:.15.已知函数满足为奇函数,则函数的解析式可能为______________(写出一个即可).【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根据奇函数的定义选择函数的解析式即可.【详解】取,则符合题意.故答案为:.16.直四棱柱的各个顶点都在一个球的表面上,且,,,侧棱,则直四棱柱外接球的表面积是________________;【答案】【解析】【分析】连接,由题意可得底面四边形与有相同的外接圆,且,由余弦定理得,再由余弦定理求出及,由正弦定理可得圆的半径,设直四棱柱的外接球的球心为, 即为直四棱柱外接球的半径,利用勾股定理可得,再由球的表面积公式计算可得答案.【详解】连接,因为直四棱柱底面有外接球,所以底面四边形与有相同的外接圆,且,所以,由余弦定理可得,即,解得,所以,因为,所以,由正弦定理可得,所以圆的半径为,即,设直四棱柱的外接球的球心为,连接、,即为直四棱柱外接球的半径,所以底面,,可得,直四棱柱外接球的表面积是.故答案为:. 【点睛】关键点点睛:解题的关键点是在中利用勾股定理求出球的半径,考查了学生的空间想象能力.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量,.(1)求;(2)求向量与向量的夹角的余弦值;(3)若,且,求向量与向量夹角.【答案】(1);(2);(3)..【解析】【分析】(1)先求出的坐标,再求其模;(2)利用向量的夹角公式直接求解即可;(3)由,得化简结合已知条件可得答案【详解】解:(1)因为,,所以.所以.(2)因为,,, 所以.(3)因为,所以.即.所以.即,所以.因为,所以.18.已知.(1)求的值域;(2)若,,求的值.【答案】(1)(2)【解析】分析】(1)先根据两角和差正弦余弦公式化简解析式,再应用三角函数值域求解即得;(2)先用已知角表示未知角,结合同角三角函数关系求函数值,再应用两角和差公式求解即可.【小问1详解】,所以的值域为【小问2详解】 由(1)得,因为,所以,所以.所以.19.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)求角A的大小;(2)若,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由二倍角的正弦公式、余弦定理化简已知式可得,进而求出的值,结合,可求出.(2)由三角恒等变换的应用可求,由题意可求出,由正切函数的性质求解即可.【小问1详解】由 ,所以,可得:,即,由余弦定理可得:,又,所以.【小问2详解】由,因为,所以,又,所以,所以,得,所以,所以,所以.的取值范围为.20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面为直角梯形,CD//AB,AD⊥AB,且PA=AD=CD=2,AB=3,E为PD的中点. (1)证明:AE⊥平面PCD;(2)过A,B,E作四棱锥P﹣ABCD的截面,请写出作法和理由,并求截面的面积.【答案】(1)证明见解析(2)作法和理由见解析,【解析】【分析】(1)由结合线面垂直的判定证明即可;(2)作EF//CD,得出EF//AB,从而得出截面,再由梯形的面积公式得出截面面积.【小问1详解】证明:因为PA⊥平面ABCD,所以CD⊥PA.又CD//AB,AD⊥AB,所以CD⊥AD.因为AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,则CD⊥AE.因为PA=AD,E为PD的中点,所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD.【小问2详解】解:如图,过E作EF//CD,交PC于F,连接BF,则截面为四边形ABFE.理由如下:因为AB//CD,EF//CD,所以EF//AB,所以A,B,F,E四点共面,从而过A,B,E的截面为四边形ABFE.由(1)知AE⊥平面PCD,所以AE⊥EF,又,,AB=3,所以四边形ABFE为直角梯形,其面积.21.的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,点O为的内心,记△OBC,的面积分别为,,,已知,. (1)若为锐角三角形,求AC的取值范围;(2)在①;②;③中选一个作为条件,判断△ABC是否存在,若存在,求出的面积,若不存在,说明理由.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】(1)由题意,根据的内切圆的性质可得,利用正、余弦定理可得,结合角C的取值范围即可求解;(2)选择①,根据正弦定理可得,由(1)得,方程无解即△ABC不存在.选择②,根据三角恒等变换可得,由(1)得,解得,结合三角形的面积公式计算即可.选择③,由(1),根据余弦定理可得,方程无解即△ABC不存在.【小问1详解】设的内切圆半径为r,因为,所以,化简得:,所以,因为,所以,所以,因为,所以,因为为锐角三角形,所以,,解得:,所以,所以AC的取值范围为.【小问2详解】选择①,因为,所以,因为,所以,所以,由(1)知,,所以, 整理得,方程无实数解,所以不存在.选择②,由得:,所以,即,所以,由(1)知,,所以,所以,解得,所以存在且唯一,的面积.选择③,因为,所以,由(1)知,,所以,整理得,方程无实数解,所以不存在.22.已知函数.(1)若,判断函数的奇偶性,并加以证明;(2)若函数在R上是增函数,求实数a的取值范围;(3)若存在实数,使得关于x的方程有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围(写出结论即可,无需论证).【答案】(1)奇函数,证明见解析;(2);(3).【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性的定义进行求解证明即可;(2)根据绝对值的性质,结合二次函数的单调性进行求解即可;(3)根据(2)的结论,运用分类讨论法,根据函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】当时,,, 所以,所以函数为奇函数;【小问2详解】,当时,的对称轴为;当时,的对称轴为;所以当时,在R上是增函数,即时,函数在R上是增函数;【小问3详解】方程的解即为方程的解.①当时,函数在R上是增函数,关于x的方程不可能有三个不相等的实数根;②当时,即时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,则当时,关于x的方程有三个不相等的实数根;即,因为,所以.设,因为存在实数,使得关于x的方程有三个不相等的实数根,所以,又可证在上单调递增,所以,故;③当时,即,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,则当时,关于x的方程有三个不相等的实数根;即,因为,所以,设,因为存在实数,使得关于x的方程 有三个不相等的实数根,所以,而函数在上单调递减,所以,故;综上:.
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高中 - 数学
发布时间:2023-10-08 18:47:02
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