四川省泸县第四中学2023-2024学年高三文科数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

泸县四中高2021级高三上学期开学考试文科数学第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的四则运算化简复数，根据共轭复数的定义可得出复数.【详解】由已知可得，因此，.故选：A.2.已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为（）A.64B.65C.64.5D.66【答案】B【解析】【分析】首先判断中位数位于之间，设中位数为，依题意可得，解得即可.【详解】解：因为，所以中位数位于之间，设中位数为，则，解得， 即中位数为.故选：B3.成立的充要条件是（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】【分析】解分式不等式即可得解；【详解】解：因为，，，即，解得或，即，故成立的充要条件是“或”.故选：【点睛】本题考查分式不等式解法及充要条件的理解，属于基础题.4.曲线在处的切线方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程．【详解】解：的导数为，可得在处的切线斜率为，切点为，即有在处的切线方程为，即为．故选：． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．5.函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】确定函数为奇函数排除BD，计算，排除A，得到答案.【详解】，函数定义域为，，函数为奇函数，排除BD；，，故，排除A.故选：C6.直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（）A.在圆上B.在圆内C.在圆外D.不确定【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到圆心到直线的距离为，求得，结合点与圆的位置关系，即可求解.【详解】因为直线与圆O：相交， 可得圆心到直线的距离为，解得，所以点在圆外.故选：C.7.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.【详解】输入，不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数不成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，； 不成立，是偶数成立，则，；不成立，是偶数成立，则，；成立，跳出循环，输出i的值为.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.8.设为正数，若，则的最小值为（）A.6B.9C.12D.15【答案】B【解析】【分析】直接利用基本不等式，结合已知代数式的形式进行求解即可.【详解】，，则，当且仅当，即时取等号.故选：B9.经研究发现：某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米地方测得信息素浓度y满足函数（A，K为非零常数）．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4秒后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（）米．A.B.2C.D.4【答案】D【解析】【分析】根据已知数据可得，再根据即可求出值.【详解】由题知：当，时，，代入得：，当，时， ，即，而，解得：或（舍）故选：D.10.若，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】用对数函数的单调性和比较，用指数函数的单调性和比较，用对数函数的单调性和比较，即可判断大小关系.【详解】因为,所以为减函数，所以，即因为,所以为增函数，所以，即.因为,所以为增函数，所以，即，所以．故选：D11.在三棱柱中，，侧棱底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为（）A.B.C.D.3【答案】B【解析】【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为、，则的中点为， 设球的半径为，则，设，，则，，则在△中，，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以，所以该三棱柱的侧面积为.故选：B.【点睛】本题考查利用不等式求解棱柱的外接球面积最小值与侧面积问题，属于中档题12.若函数在区间上有零点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设为函数的零点，则，转化为在直线上，根据表示点到原点的距离的平方，得到，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】由题意，函数，设为函数在上的零点，则，即，即点在直线上，又表示点到原点的距离的平方，则，即，令，则，因为，所以，在单调递增.所以最小值为.故选：A【点睛】关键点点睛：设零点有，换主元化为点在直线上，结合的几何意义及点线距离公式得为关键.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，且满足，则_______.【答案】4【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示求解.【详解】由已知，又，所以，．故答案为：4.14.若实数、满足，则目标函数的取值范围为______. 【答案】【解析】【分析】画出约束条件的可行域，根据简单线性规划问题的解法，平移即可求解．【详解】作出图象，如图所示阴影区域为可行域：作直线的平行线，因为，越往上移，越大，越往下移，越小，当目标函数经过可行域的时，目标函数取得最大值2，目标函数经过时，目标函数取得最小值．所以目标函数的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查简单线性规划问题的解法应用，准确画出可行域是解题的关键，属于基础题．15.将某个圆锥体沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为，圆心角为，则圆锥的体积是_________.【答案】【解析】【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则，，所以圆锥的体积为. 故答案为：16.已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为___________________．【答案】【解析】【分析】根据条件求出a，b，c即可.【详解】∵渐近线的方程为，，又，由点到直线的距离公式知：，，∴双曲线C的方程为：；故答案为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.（1）试估计这100人的竞赛成绩的平均数； （2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在内的学生中随机抽取6人作为航天知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自同一组的概率.【答案】（1）73.5（2）【解析】【分析】（1）根据频率的性质求a，再根据平均数运算求解；（2）先根据分层抽样求每组抽取的人数，再结合古典概型运算求解.【小问1详解】依题意可得：，解得：，根据频率分布直方图知：每组的频率依次为，则平均数的估计值为，所以这100人的竞赛成绩的平均数的估计值为73.5.【小问2详解】由题意可知：竞赛成绩在，两个组的人数之比为，若采用分层抽样从中抽取6人，所以每组各抽学生人数分别为，分别记中所抽取的5人编号依次为1，2，3，4，5，中所抽取的1人编号为A，所以从6人中随机抽取2人的情况为：，，，，，，，，，，，，，，共15种结果，其中这2人来自同一组（记为事件）的有10种，则所以这2人来自不同组的概率为.18.某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）. （1）若O是四边形对角线的交点，求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）线段中点为，证明即可；（2）利用等体积法求三棱锥的体积.【小问1详解】在图2中取线段中点H，连接，如图所示：由图1可知，四边形是矩形，且，∴O是线段与的中点，∴且，图1中且，而且.所以在图2中，且，∴且，∴四边形是平行四边形，则，由于平面，平面，∴平面.【小问2详解】 ∵，面，，∴面，，所以，即三棱锥的体积为.19.高二理科班有60名同学参加某次考试，从中随机抽选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：数学成绩140130120110100物理成绩110901008070数据表明与之间有较强的线性关系.（Ⅰ）求关于的线性回归方程，并估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩；（Ⅱ）本次考试中，规定数学成绩达到125分为数学优秀，物理成绩达到100分为物理优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人，请你在答卷页上填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？物理优秀物理不优秀合计数学优秀数学不优秀合计参考公式及数据：回归直线的系数，，，，.，. 【答案】（Ⅰ），估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分；（Ⅱ）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关．【解析】【分析】（Ⅰ）由已知求得与的值，可得关于的线性回归方程，取求得值即可；（Ⅱ）由题意填写列联表，求得的值，结合临界值表得结论．【详解】解：（Ⅰ），．，．关于的线性回归方程为，取，得．估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分；（Ⅱ）由题意填写列联表：物理优秀物理不优秀合计数学优秀24630数学不优秀121830合计362460，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．20.已知（1）若的单调递减区间是，求实数a的值（2）若，且对任意，都有，求实数a的 取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据的单调递减区间是得到在上的解集为，然后求即可；（2）根据得到是上的递减函数，然后分和两种情况求解即可.【小问1详解】由题意得，则，因为的单调递减区间是，所以在上的解集为，所以，解得.【小问2详解】设，，令，则是上的递减函数，当时，，，函数是上的增函数，故，当时，，，函数是上增函数， 故，所以实数的取值范围是.21.已知椭圆C：的离心率，短轴长为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知经过定点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线相交于点Q，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由已知结合椭圆的性质可求a，b，进而可求椭圆方程；（2）先对直线l的斜率是否存在分类讨论，然后联立直线l与已知椭圆方程，结合方程的根与系数关系及向量的线性坐标表示可求．【小问1详解】由题意得，解得，，故椭圆C的方程为；【小问2详解】当直线l斜率不存在时，，，，,则，，，， 此时，，；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为，联立可得，设，，联立可得，则，，因为，，所以，，所以，【点睛】圆锥曲线中的范围或最值以及定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．（选修4-4极坐标与参数方程） 22.在平面直角坐标系xOy中，设曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程；（2）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求实数a的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）曲线的参数方程消去参数即可求出曲线的普通方程；（2）首先曲线的极坐标方程转化为普通方程，可以得到曲线是圆，要使曲线上恰有三个点到曲线的距离为，圆心到直线的距离，求解方程即可.【小问1详解】由已知得代入，消去参数t得曲线的普通方程为．【小问2详解】由曲线的极坐标方程得，又，，，所以，即，所以曲线是圆心为，半径等于的圆．因为曲线上恰有三个点到曲线的距离为，所以圆心到直线的距离， 即，解得．（选修4-5不等式选讲）23.已知，．（1）解不等式；（2）若方程有一个解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对分两种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果;（2）.作出函数的图象，当直线与函数的图象有一个公共点时，方程有一个解，由图可得结果.【详解】（1）不等式，即为.当时，即化为，得，此时不等式的解集为，当时，即化为，解得，此时不等式的解集为.综上，不等式的解集为.（2）,即.作出函数的图象如图所示， 当直线与函数的图象有一个公共点时，方程有一个解，所以或.所以实数取值范围是.