专题31 利用均值和方差的性质求解新的均值和方差(教师版)

专题31利用均值和方差的性质求解新的均值和方差一、单选题1．设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和，若(为非零常数，)，则，，，…，，的均值和标准差为（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，由已知得新样本的均值为，方差为，标准差为，代入可得选项.【详解】设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，则新样本的均值为，方差为，标准差为，所以，，所以标准差为，所以，故选：B.【点睛】本题考查均值、方差、标准差的性质，属于中档题.2．某班统计某次数学测试的平均数与方差，计算完毕才发现有位同学的试卷未登分，只好重算一次.已知第一次计算所得的平均数和方差分别为，，重算时的平均数和方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】运用平均数和方差的运算方法分别计算出第一次和第二次的结果，然后进行比较，得到结果.【详解】设这个班有n个同学，除被忘记登分的同学外的分数分别是，被忘记登分的同学的分数为，29 则所以，，方差，①因为②将①代入到②得：故故选：A【点睛】本题考查了平均数和方差的知识，只要运用其计算方法即可得到结果，本题较为简单.3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（）A．6.1毫米B．32.6毫米C．61毫米D．610毫米【答案】C【分析】利用标准差公式即可求解.【详解】设这7天降雨量分别为，，，，，，则因为1厘米=10毫米，这7天降雨量分别为10，10，10，10，10，10，10，平均值为=265，29 所以标准差变为.故选：C【点睛】本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题.4．设随机变量，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用正态分布的方差可得的值，然后利用方差的性质可求得的值.【详解】，，由方差的性质可得.故选：B.【点睛】本题考查利用方差的性质计算方差，同时也考查了正态分布方差的应用，考查计算能力，属于基础题.5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.【详解】29 由题意，可得，设收集的48个准确数据分别记为，则，，所以．故选:A．【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．6．已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为（）A．19和2B．19和3C．19和4D．19和8【答案】C【分析】根据平均数和标准差的性质可得选项.【详解】解：∵，，…，的平均数为10，标准差为2，∴，，…，的平均数为：，标准差为：．故选：C．【点睛】本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.7．已知样本，，…，的平均数为2，方差为5，则，，…，的平均数和方差分别为（）A．4和10B．5和11C．5和21D．5和20【答案】D29 【分析】利用平均数和方程的性质可算出答案.【详解】因为样本，，…，的平均数为2，方差为5，所以，，…，的平均数为，方差为故选：D【点睛】本题考查的是平均数和方程的性质，较简单.8．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（）.A．60，24B．80，120C．80，24D．60，120【答案】D【分析】根据二项分布的期望和方差的计算公式进行计算，由此判断出正确选项.【详解】设该同学次罚篮，命中次数为，则，所以，，所以该同学得分的期望为，方差为.故选：D【点睛】本小题主要考查二项分布的期望和方差的计算，属于基础题.9．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于(　　)X024P0.30.20.529 A．16B．11C．2.2D．2.3【答案】A【解析】由表格可求，故，故选A．10．已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为，方差记为，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】根据数学期望以及方差的公式求解即可.【详解】设原来7个数分别为由，则由则所以故选：B【点睛】本题主要考查了数学期望和方差性质的应用，属于中档题.29 11．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差为（）A．B．3C．D．4【答案】C【分析】由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．【详解】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为，方差为，由平均数和方差的计算公式可得，.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．12．甲.乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），若甲、乙、丙都打中的概率是，设表示甲、乙两人中中靶的人数，则的数学期望是（）A．B．C．1D．【答案】D【分析】根据题意可得，求出列出分布列，利用期望公式计算.【详解】，列出分布列，利用期望公式计算.记的所有可能取值为0，1，201229 故选：D.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，求解时注意概率的求解.13．已知的分布列为1234Pm设，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由条件算出，然后算出，然后可算出答案.【详解】由分布列的性质可得：，解得所以因为，所以故选：C【点睛】本题考查的是分布列的性质和期望的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.14．随机变量的分布列如表所示，若，则（）-10129 A．4B．5C．6D．7【答案】B【分析】由于，利用随机变量的分布列列式，求出和，由此可求出，再由，即可求出结果.【详解】根据题意，可知：，则，，即：，解得：，，，则，.故选：B.【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.15．一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都加上得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A．这组新数据的平均不变B．这组新数据的平均数为amC．这组新数据的方差为D．这组新数据的方差不变【答案】D【分析】考查平均数和方差的性质，基础题．【详解】29 设这一组数据为，由，，故选：D．【点睛】本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题.16．设，相互独立的两个随机变量，的分布列如下表：-11-11则当在内增大时（）A．减小，增大B．减小，减小C．增大，增大D．增大，减小【答案】D【分析】求出，，从而，，，从而，由此得到当在内增大时，增大，减小．【详解】解：，，，，，，，29 当在内增大时，增大，减小，故选：D．【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力．17．若样本数据的方差为8，则数据的方差为（）A．31B．15C．32D．16【答案】B【分析】本题根据已知直接求方差即可.【详解】解：因为样本数据的方差为8，所以数据的方差为：，故选：B.【点睛】本题考查数据同时乘除同一数对方差的影响，是基础题18．已知数据的方差为，若，则新数据的方差为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据方差的性质直接计算可得结果.【详解】由方差的性质知：新数据的方差为：.故选：.【点睛】本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题.19．若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（）29 A．3和4B．3和2C．2和4D．2和2【答案】D【分析】先由随机变量服从两点分布求出和，再根据性质求出和的值.【详解】随机变量服从两点分布，且，，，，，.故选：D.【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布，解题时要注意两点分布的性质和应用，属于基础题.20．一组数据中的每个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）A．81.2，84.4B．78.8，4.4C．81.2，4.4D．78.8，75.6【答案】C【分析】原来数据的平均数为,方差不改变，得到答案.【详解】原来数据的平均数为,方差不改变为.故选：C.【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.21．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为（）A．B．C．D．二、多选题【答案】D【分析】29 设数据、、、的平均数为，计算出数据、、、的平均数，利用方差公式可求得结果；或直接利用方差性质即可得出结论.【详解】解法一：设，由题意可得，数据、、、的平均数为，因此，数据、、、的方差为.解法二：由，根据方差的性质得.故选：D.【点睛】本题考查方差的计算，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于中等题.22．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍；B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为；C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为.【答案】BD【分析】A.根据数据的变化与方差的定义进行判断.B．利用古典概型的概率公式进行判断.C．结核性相关性系数与相关性之间的关系进行判断.D．根据独立性概率公式建立方程组进行求解即可．【详解】29 A:设一组数据为,则每个数据都乘以同一个非零常数后,可得，则，所以方差也变为原来的倍，故A不正确.B:从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为，故B正确.C:由，两个变量的线性相关性越强，，两个变量的线性相关性越弱，故C不正确.D:根据题意可得,设则，得，即解得或（舍）所以事件发生的概率为，故D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题.23．设离散型随机变量X的分布列为X1234P0.20.10.2q若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（）A．B．C．D．【答案】BD【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质求出，由此能求出29 ，再由离散型随机变量Y满足，能求出和．【详解】解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：，所以，，∴，，故选：BD．【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式和性质，属于基础题.24．下列说法中正确的是（）A．设随机变量X服从二项分布，则B．已知随机变量X服从正态分布且，则C．；D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大【答案】ABD【分析】对于选项都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项根据方差的性质，即可判断选项C.【详解】对于选项设随机变量，则，所以选项A正确；对于选项因为随机变量，29 所以正态曲线的对称轴是，因为，所以，所以，所以选项B正确；对于选项，，故选项C不正确；对于选项由题意可知，，，由一次函数和二次函数的性质知，当时，随着x的增大而减小，随着x的增大而增大，故选项D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．下列说法正确的有（）A．若离散型随机变量的数学期望为，方差为，则，B．若复数满足，则的最大值为6C．4份不同的礼物分配给甲､乙､丙三人，每人至少分得一份，共有72种不同分法D．10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有种不同分法【答案】ABD【分析】根据离散型随机变量的数学期望和方差的性质即可知A正确；根据复数的几何意义可知B正确；根据先分组再分配的原则可知C错误，利用挡板法可知D正确【详解】解：对于A，因为离散型随机变量的数学期望为，方差为，所以29 ，，所以A正确；对于B，因为，所以复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，所以表示点与原点的距离，根据圆的几何性质可知，的最大值为，所以B正确；对于C，4份不同的礼物分组的方式只有1，1，2，所以只有种情况，再分配给三人，有种方式，最后根据分步乘法计数原理可知，共有36种不同的方法，所以C错误；对于D，10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配1个名额，采用挡板法可知，共有种不同的分法，D正确，故选：ABD【点睛】此题考查了离散型随机变量的数学期望和方差的性质的应用，复数的几何意义，以及排列组合问题，属于中档题26．设随机变量的分布列为，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】利用分布列的性质求，而，根据期望、方差公式即可求、、，进而可确定选项的正误.【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得，∴，A选项正确；，即有，B选项正确；29 ，C选项正确，D选项不正确.故选：ABC.【点睛】本题考查随机变量的分布列及其数学期望和方差的计算，考查运算求解能力､数学运算核心素养.27．已知随机变量的分布列是－101随机变量的分布列是123则当在内增大时，下列选项中正确的是（）A．B．C．增大D．先增大后减小【答案】BC【分析】由，根据期望和方差的性质可得，；求出，，根据函数的性质即可判断．【详解】解：对于，，，故错误；对于，，，故正确；29 对于，，当在内增大时，增大，故正确；对于，，，当在内增大时，单调递增，故错误．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．28．一组数据的平均值为7，方差为4，记的平均值为a，方差为b，则（）A．a=7B．a=11C．b=12D．b=9【答案】BD【分析】根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得E(X)，D(X)，进而求得平均值a，方差b.【详解】的平均值为7，方差为4，设，，得E(X)=3，D(2X+1)=4D(X)=4，则D(X)=1，的平均值为a，方差为b，a=E(3X+2)=3E(X)+2=11，b=D(3X+2)=9D(X)=9.故选：BD.【点睛】本题考查了离散型随机变量均值与方差公式的简单应用，属于基础题.29 三、填空题29．已知一组数据的方差为5，则数据的方差为___．【答案】45【分析】依据计算即可.【详解】由题意可得，数据的方差为：．故答案为：45.30．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为____________.【答案】200【分析】设没有发芽的种子数为，由二项分布的数学期望公式及数学期望的性质即可得解.【详解】设没有发芽的种子数为，则有，由题意可知服从二项分布，即,则，所以.故答案为：200.31．已知随机变量的分布列为012若，则______．【答案】29 【分析】根据变量间的关系计算新的均值．【详解】由概率分布列知．．【点睛】本题考查线性变换后新变量与原变量间均值之间的关系，考查随机变量的概率分布列．属于基础题．．32．已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望________.【答案】【分析】利用二项分布的数学期望公式计算出的值，然后利用期望的性质可求得的值.【详解】由于离散型随机变量，，又因为随机变量，由期望的性质可得.故答案为：.【点睛】本题考查期望的计算，考查了二项分布的期望以及期望性质的应用，考查计算能力，属于基础题.33．随机变量的分布如下表，则_______.0240.40.30.3【答案】1329 【分析】根据表格中的数据计算出，然后可得的值.【详解】因为所以故答案为：13【点睛】本题考查的是期望的算法和性质，较简单.34．设随机变量的分布列为，为常数，则________．【答案】3【分析】根据，由解得a，再利用期望公式结合性质求解.【详解】因为，所以，所以，故．故答案为：3【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望及其性质，属于基础题.35．已知样本数据，，…，的均值，则样本数据，，…，的均值为______.【答案】7【分析】29 利用平均数计算公式求解.【详解】∵数据，，…，的平均数为均值，则样本数据，，…，的均值为：.故答案为：7.【点睛】此题为基础题，考查样本数据平均数的求法.36．设离散型随机变量可能取的值为，.又的均值，则______.【答案】【分析】由概率之和为1得到一个方程，由得到第二个方程，建立方程组，从而得到结果.【详解】离散随机变量可能取的值为1,2,3，，故的数学期望，而且，联立方程组，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了概率与数学期望的问题，解题的关键是熟记公式.四、双空题37．已知，随机变量X的分布列如图.若时，________；在p的变化过程中，29 的最大值为______.X012P【答案】2【分析】由数学期望的公式运算即可得解；由方差的公式可得，进而可得，结合方差的性质即可得解.【详解】当时，；在p的变化过程中，，则，所以当时，，所以.故答案为：；2.38．在一袋中有个大小相同的球，其中记上的有个，记上号的有个（＝，，，），现从袋中任取一球，表示所取球的标号，则______，若，且，则_____.【答案】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；29 （2）先求出，化简即得解.【详解】（1）由题得；（2）由题意知的可能取值为0，1，2，3，4，的分布列为：01234，因为，所以.所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.39．已知随机变量服从二项分布，，则________，________.【答案】96【分析】由二项分布的期望公式求出．，再由数据变换间的关系求得新期望和方差．【详解】∵随机变量服从二项分布，，则．故答案为9；6．【点睛】本题考查在二项分布的期望与方差公式，考查数据线性变换后期望与方差间的关系，属于基础题．29 五、解答题40．2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）；（2）选择第二种方案更合算.【分析】（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；（2）选择方案一，计算所付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的数学期望值，比较得出结论.【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为；（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.，，，.故的分布列为，29 所以（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以（元）.因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.【点睛】方法点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题步骤如下：（1）判断随机变量的可能取值；（2）说明随机变量取各值的意义（即表示什么事件）并求出取该值的概率；（3）列表写出随机变量的分布列；（4）利用期望公式求值41．“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在时，时，时，时公布实时在园人数．下表记录了月日至日的实时在园人数：日日日日日日日时在园人数时在园人数时在园人数时在园人数通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是万人．29 （Ⅰ）甲同学从月日至日中随机选天的下午时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；（Ⅱ）从月日至日中任选两天，记这两天中这个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据月日至日每天时的在园人数，判断从哪天开始连续三天时的在园人数的方差最大？（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列见解析，数学期望；（Ⅲ）从10月3日开始连续三天时的在园人数的方差最大．【分析】（Ⅰ）由题意得，在园人数为万人以下为“舒适”，由此根据古典概型的概率计算公式求解即可；（Ⅱ）从月日至日中，这个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，得的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，由此可求出答案；（Ⅲ）根据方差的定义观察波动幅度，由此可得出结论．【详解】解：∵以下称为“舒适”，该公园的最大承载量是万人，∴在园人数为万人以下为“舒适”，（Ⅰ）月日至日的下午时去该公园游览，“舒适”的天数为3天，∴甲同学遇上“舒适”的概率；（Ⅱ）从月日至日中，这个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，∴的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，∴，，，∴的分布列为01229 ∴的数学期望；（Ⅲ）从10月3日开始连续三天时的在园人数的方差最大．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查古典概型的概率计算公式，考查方差的定义，属于基础题．29