第八章　§8.1　直线的方程

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§8.1　直线的方程考试要求　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．知识梳理1．直线的方向向量设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　×　)(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．(　×　)(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.(　×　)(4)直线y＝kx－2恒过定点(0，－2)．(　√　)教材改编题1．已知点A(2,0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°答案　B解析　由题意得直线AB的斜率k＝＝，设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝，∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2．已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为(　　)A．x＋y＝1B．x－y＝1C．y＝1D．x＝1答案　D解析　因为直线l的倾斜角为90°，所以该直线无斜率，与x轴垂直，又因为直线l过点(1,1)，所以直线l的方程为x＝1.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.题型一　直线的倾斜角与斜率例1　(1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)A．[－，1]B．(－∞，－]∪[1，＋∞)C.D.∪[1，＋∞)答案　B解析　如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝＝－；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．(2)直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)A.B.C.D.答案　B成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈，所以≤cosα≤，因此k＝2cosα∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．跟踪训练1　(1)(2023·温州模拟)直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)的倾斜角的最小值是________．答案　解析　直线可化为y＝－x－.∵m2≥0，∴m2＋1≥1，则0<≤1，∴－1≤－<0.则所求倾斜角的最小值是.(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.答案　　－3解析　如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3.题型二　求直线的方程例2　求符合下列条件的直线方程：(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；(2)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍；(3)直线过点(5,10)，且原点到该直线的距离为5.解　(1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，∴y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.(2)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2,1)，∴1＝2k，解得k＝，∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为＋＝1，由题意可得解得∴直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0；综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.(3)当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.∴原点到直线的距离d＝＝5，解得k＝，∴所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.思维升华　求直线方程的两种方法成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2　(1)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为(　　)A．5x－2y－5＝0B．2x－5y－5＝0C．5x－2y＋5＝0D．2x－5y＋5＝0答案　A解析　设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，因为A(5，－2)，B(7，3)，所以且解得x＝－5，y＝－3，m＝－，n＝1，即C(－5，－3)，M，N(1,0)，所以MN所在直线的方程为＝，即5x－2y－5＝0.(2)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为(　　)A．y－3＝－(x＋4)B．y＋3＝(x－4)C．y－3＝(x＋4)D．y＋3＝－(x－4)答案　C解析　方法一　因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以直线l的斜率k＝，故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期方法二　设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则＝(x＋4，y－3)，因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．题型三　直线方程的综合应用例3　已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．解　方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A，B(0,1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥×(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.方法二　设直线l：＋＝1，且a>0，b>0，因为直线l过点M(2,1)，所以＋＝1，则1＝＋≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期延伸探究1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解　由本例方法二知，＋＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝3＋＋≥3＋2，当且仅当a＝2＋，b＝1＋时，等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y＝2＋.2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．解　方法一　由本例方法一知A，B(0,1－2k)(k＜0)．所以|MA|·|MB|＝·＝2×＝2≥4.当且仅当－k＝－，即k＝－1时取等号．此时直线l的方程为x＋y－3＝0.方法二　由本例方法二知A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＋＝1.所以|MA|·|MB|＝||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝2≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.思维升华　直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期)的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．跟踪训练3　(1)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点________，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是________．答案　(1，－4)　[3，＋∞)解析　直线l：(a＋1)x＋y＋3－a＝0可化为a(x－1)＋x＋y＋3＝0，令解得∴直线l过定点(1，－4)，∵直线l可化为y＝－(a＋1)x＋a－3，又直线l不经过第三象限，∴解得a≥3.(2)已知直线l过点M(1,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点．当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，则直线l的方程为________．答案　x＋y－2＝0解析　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则A(a,0)，B(0，b)，且＋＝1，则a＋b＝ab，所以|MA|2＋|MB|2＝(a－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＋(b－1)2＝4＋a2＋b2－2(a＋b)＝4＋a2＋b2－2ab＝4＋(a－b)2≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.课时精练1．(2023·阜阳模拟)在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为(　　)A．45°B．135°C．90°D．180°答案　A解析　由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，则k＝tanα＝＝1，故倾斜角α＝45°.2．已知直线l1：x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角是60°，则k的值为(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期A.或0B．－或0C.D．－答案　A解析　直线l1：x＋y＝0的斜率为k1＝－，所以直线l1的倾斜角为120°.要使直线l1与直线l2的夹角是60°，只需直线l2的倾斜角为0°或60°，所以k的值为0或.3．(2023·南京师范大学附中模拟)若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率是(　　)A．－B.C．－D.答案　C解析　由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，则平移后直线的方程为y＝k(x－3)＋b－2＝(kx＋b)＋(－3k－2)，可得kx＋b＝(kx＋b)＋(－3k－2)，即k＝－.4．若直线l的方程y＝－x－中，ab>0，ac<0，则此直线必不经过(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　C解析　由y＝－x－，ab>0，ac<0，知直线l的斜率k＝－<0，在y轴上的截距－>0，所以此直线必不经过第三象限．5．直线l：x－y＋2＝0与x轴交于点A，把l绕点A顺时针旋转45°得直线m，m的倾斜角为α，则cosα等于(　　)A．－B.C.D.答案　C成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期把点A(1,2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.9．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．答案　解析　由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥.10．已知直线l的倾斜角为α，sinα＝，且这条直线l经过点P(3,5)，则直线l的一般式方程为________________________________．答案　3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0解析　因为sinα＝，所以cosα＝±＝±，所以直线l的斜率为k＝tanα＝±，又因为直线l经过点P(3,5)，所以直线l的方程为y－5＝(x－3)或y－5＝－(x－3)，所以直线l的一般式方程为3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0.11．已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2,则直线l经过定点________，若直线l与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．答案　(0，－2)　[1,3]解析　由题意得直线l：y＝kx－2过定点C(0，－2)，又点A(2,4)，B(4,2)，kCA＝＝3，kCB＝＝1，要使直线l与线段AB有公共点，由图可知k∈[1,3]．12．过点P(－1,0)且与直线l1：x－y＋2＝0的夹角为的直线的一般式方程是______________．答案　x＋1＝0或x－y＋1＝0解析　直线l1的倾斜角β∈[0，π)且tanβ＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期则β＝，因为所求直线与直线l1的夹角为，所以所求直线的倾斜角为或，当所求直线的倾斜角为时，直线为x＝－1；当所求直线的倾斜角为时，直线为y＝(x＋1)，故直线为x－y＋1＝0.综上，所求直线为x＋1＝0或x－y＋1＝0.13．(多选)下列说法正确的是(　　)A．不经过原点的直线都可以表示为＋＝1B．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B且AB的中点为(4,1)，则直线l的方程为＋＝1C．过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2D．直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1答案　BCD解析　A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；B中，AB的中点为(4,1)，那么A(8,0)，B(0,2)，则直线l的方程为＋＝1，故B对；C中，直线过原点时方程为y＝x，不过原点时方程为x＋y＝2，故C对；D中，方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D对．14．(2023·天津模拟)若直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点，则l斜率的取值范围为________；其倾斜角的取值范围为____________________．答案　(－∞，1]　∪解析　因为直线l经过A(2,1)，B(1,m2)两点，所以l斜率k＝＝1－m2≤1，所以l斜率的取值范围为(－∞，1]，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期设其倾斜角为α，α∈[0，π)，则tanα≤1，所以其倾斜角的取值范围为∪.15．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)A．2B．3C．3D．6答案　D解析　由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1,0)，动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令可得B(2,3)，又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因为≥2，所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号．16．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．答案　16解析　根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又因为C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又因为ab>0，故a<0，b<0.根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期