山东省聊城市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

2022—2023学年度第二学期期末教学质量抽测高一数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上．2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则复数在复平面内对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算及几何意义即可得解.【详解】因为，所以则在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C.2.已知向量，，若，则实数的值为（）A.1B.3C.D.【答案】B【解析】【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解.【详解】因为，，，所以，则. 故选：B3.若直线在平面外，则（）A.平面内存在唯一的直线与平行B.平面内存在唯一的直线与垂直C.平面内存在无数条直线与异面D.平面内的所有直线与都不相交【答案】C【解析】【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系逐项分析可得答案.【详解】因为直线在平面外，所以直线与平面相交或平行，当时，平面内存在无数条直线与平行，故A错误；当时，平面内存在无数条直线与垂直，故B错误；无论直线与平面相交或平行，平面内存在无数条直线与异面，故C正确；当直线与平面相交时，平面内有无数条直线与相交，故D错误.故选：C4.某校高一年级有女生504人，男生596人．学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体重为，60个男生的平均体重为，依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合按比例分配的分层抽样即可求解.【详解】高一年级有女生504人，男生596人．总人数为，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，没有按照比例分配方式进行抽样，不能直接用样本平均数估计总体平均数，需要按照女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，即，即D选项最合理.故选：D5.刍甍（chúméng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“ 下有袤有广，而上有袤无广．”可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”如图，在刍甍中，四边形是边长为2的正方形，，到平面的距离为3，则该刍甍的体积可能是（）A.B.4C.D.3【答案】A【解析】【分析】根据题意，找到该刍甍的临界状态，运用极限思维求解；【详解】设该刍甍的体积为，由题意知，该刍甍顶部只有长没有宽为一条棱，所以,在选项中，，故选：A.6.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦函数的倍角公式，结合弦化切齐次式求得，再利用正切函数的和差公式求得，从而得解.【详解】因为， 所以，，则.故选：A.7.如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在点处测得某山顶的俯角为，经过后在点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（）（，）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】在中，由正弦定理求出，再由可求出结果.【详解】依题意得，，在中，米，，由正弦定理得，得米，又所以该山顶的海拔高度为 米.故选：B8.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列结论中不正确的是（）A.为偶函数B.C.当时，在上恰有2个零点D.若在上单调递减，则【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象平移规律以及，得，，，再根据偶函数的定义可得A正确；计算可得B正确；当时，求出在上的零点，可得C不正确；根据余弦函数的单调递减区间可得D正确.【详解】依题意得，由已知得，所以，，所以，，，，对于A，，且的定义域关于原点对称，所以为偶函数，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，当时，，，由，得，得，，，因为，所以或或，则在上恰有3个零点，故C不正确； 对于D，由，，得，，所以，，所以，所以，故D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：根据三角函数图象平移规律以及三角函数的性质求解是解题关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.甲、乙二人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：下列说法正确的是（）A.从环数的平均数看，甲、乙二人射击水平相当B.从环数的方差看，甲的成绩比乙稳定C.从平均数和命中9环及9环以上的频数看，乙的成绩更好D.从二人命中环数的走势看，甲更有潜力【答案】ABC【解析】【分析】求出甲乙的平均数和方差，即可得出结论.【详解】由题意及图得，甲射击10次中靶环数分别为.将它们由小到大排列为.乙射击10次中靶环数分别为.将它们由小到大排列为. 甲平均值：（环）,乙平均值：（环）,甲方差：，乙方差：，A项，甲平均值等于乙平均值，故A正确；B项，，甲的成绩比乙稳定，B正确；C项，甲乙平均数均为7，甲命中9环及9环以上的频数为1，乙命中9环及9环以上的频数为3，故乙的成绩更好，C正确；D项，从二人命中环数的走势看，甲成绩逐渐平稳，乙成绩仍有上升趋势，故乙更有潜力，D错误.故选：ABC10.如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（）A.B.C.事件与互斥D.事件与相互独立【答案】AD【解析】【分析】依题意，计算出与，从而求得对应概率即可判断AB；由判断C；分别计算的值，从而判断D.【详解】对于A，由，得， 则，所以，故A正确；对于B，，所以，故B错误；对于C，与不互斥，故C错误；对于D，，，事件A与相互独立，故D正确.故选：AD.11.代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它在代数学中起着基础作用．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）．若，记为方程的一个虚数根，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】先利用配方法求得复数根，再利用复数的运算法则求解即可.【详解】令，得或，由，得，所以，则，所以是的两个复数根，对于A，因为为方程的一个虚数根，即满足，所以，故A正确；对于B，，故B错误； 对于C，因为与互为共轭复数，所以，故C正确；对于D，由，得，若，则，若，则，综上：，故D正确.故选：ACD.12.如图，在棱长为的正方体中，是线段上的动点，设平面截该正方体所得截面面积为，则（）A.平面B.C.当异面直线与所成角的余弦值为时，D.当的面积最小时，【答案】ABD【解析】【分析】根据面面平行的判定定理得面面平行，再又性质定理判断线面平面，即可判断A；证明正方体的体对角线与平面的位置关系，即可判断B；利用异面直线的概念确定异面直线与 所成角余弦值大小，确定点的位置，结合相似、梯形面积公式即可求得截面面积，从而可判断C；根据线面关系确定的面积最小值，即可得点的位置，在根据三角形面积公式求得截面面积，从而可判断D.【详解】对于A，如图连接在正方体中，，则四边形为平行四边形所以，又平面，平面，所以平面同理可得，又平面，平面，所以平面因为平面，所以平面平面因为平面，所以平面，故A正确；对于B，如图，连接在正方体中，平面，由于平面，所以，又正方形中有，因为平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证得， 因为平面，所以平面因为平面，所以，故B正确；对于C，如图，连接因为，结合图形可得异面直线与所成角为设，，则，在中，由余弦定理得，所以，则在中，由于，所以余弦定理得，整理得，解得或（舍），则，则如图，延长交于，过作交于，连接，过过作于， 由于，所以，所以，即为中点，由于，所以为中点，且，则，四边形是平面截该正方体所得截面，又，，所以，则,故C不正确；对于D，如下图，作，，由于平面，面，所以，又，，所以平面，又平面，所以，设，，则，又，所以，所以，当时，取得最小值，此时的面积最小，则，延长交于，取为的中点，连接， 由于，所以，所以，即为中点，显然三角形为平面截该正方体所得截面，又在中，，因为为的中点，所以，且，所以，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知样本的标准差为，若，则样本的标准差为______．【答案】##【解析】【分析】根据方差的性质可求出结果.【详解】因为样本的标准差为，所以方差为，又因为，所以样本的方差为，所以标准差为，故答案为：.14.一个盒子中装有大小和质地相同的2个红球和2个白球，从盒中不放回地依次随机取出2个球，则取出的2个球同色的概率是______．【答案】【解析】【分析】根据互斥事件概率的加法公式和古典概型概率公式可得结果. 【详解】取出的2个球都是红色的概率为，取出的2个球都是白色的概率为，所以取出的2个球同色的概率为.故答案为：.15.如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则______．【答案】【解析】【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果.【详解】因为是的中点，所以，，因为，，，所以 ，所以.故答案为：.16.已知正三棱台的高为1，下底面边长为2，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______．【答案】##【解析】【分析】根据已知计算可得下底面中心为外接球球心，算出半径，根据球的表面积公式可得结果.【详解】如图：在正三棱台中，上、下底面中心为，依题意得，因为，所以，过作，垂足为，则，又，所以，所以，所以，所以为正三棱台的外接球的球心，半径，球的表面积为.故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聂．17.在平面直角坐标系中，设与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为和，向量，．（1）若点在线段的延长线上，且，求点的坐标；（2）若点是线段的中点，且向量与垂直，求实数的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得到，再利用向量的坐标表示与线性运算即可得解；（2）由向量与的数量积为0，即可求得的值．【小问1详解】依题意，得，，则，，因为点在线段的延长线上，且，所以，设，则，所以，即，解得，所以点的坐标为.【小问2详解】因为点是线段的中点，则，又，向量与向量垂直，所以，即，所以.18.2023年4月23日是第28个“世界读书日”，为了更好地弘扬“尊重知识，崇尚文明” 的阅读理念，某书屋举办了“智慧闯关奖励图书”活动，活动规则如下：有3道难度相当的题目，每位闯关者共有3次机会，一旦某次答对抽到的题目，则闯关成功；否则就一直抽题到第3次为止．假设张华答对每道题的概率都是0.7，且对抽到的题目能否答对是独立的．（1）求张华第二次闯关成功的概率；（2）求张华闯关成功的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解即可；（2）先求出张华没有闯关成功的概率，再利用对立事件概率的求法求解即可．小问1详解】因为张华答对每道题的概率都是，所以张华不能答对某道题的概率，张华第二次闯关成功的概率；【小问2详解】张华没有闯关成功的概率，张华闯关成功的概率．19.如图，是的直径，点是上的动点，过动点的直线垂直于所在的平面，，分别是，的中点．（1）记平面与所在的平面的交线为，求证：；（2）当为的中点，且时，求与平面所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得平面，再根据线面平行的性质定理得；（2）取的中点，连，可得是与平面所成的角，利用已知条件计算可得结果.【小问1详解】因为，分别是，的中点．所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以.【小问2详解】取的中点，连，因为为的中点，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，所以是与平面所成的角，因为为的中点，且，所以，，所以.20.有一种鱼的身体吸收汞，身体中汞的含量超过其体重的（百万分之一）的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某检测中心从一批这种鱼中随机抽取了50条，检测其汞含量（单位：），并将所得数据分为6组：，，，，， ，整理后得到如下频率分布直方图．（1）由频率分布直方图分别估计样本的中位数和第分位数（精确到0.01）；（2）由频率分布直方图估计这批鱼汞含量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）从实际情况看，许多鱼的我含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过．你认为每批这种鱼的平均汞含量都比大吗？并说明理由．【答案】（1）；（2）（3）不一定，理由见解析【解析】【分析】（1）先利用频率之和为求得，再利用频率分布直方图的中位数与百分位数的求法求解即可；（2）结合（1）中结论，利用频率分布直方图的平境外数的求法求解即可；（3）结合样本估计总体平均数的实际意义判断说理即可.【小问1详解】依题意，由频率分布直方图可知这批鱼汞含量在区间，，，，，的频率分别为，，，，，，所以，解得，则，因为，，，所以样本的中位数在区间中，设为，则，解得，样本的第分位数在区间中，设为，则，解得，所以样本的中位数为，第分位数为.【小问2详解】结合（1）中结论，可得这批鱼汞含量的平均值为.【小问3详解】 不一定，因为我们不知道其他各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同，即使其他各批鱼的汞含量分布与这批鱼相同，上面所得的平均数也只能为这个分布做出估计，不能保证每批鱼的平均录含量都大于.21.如图，平面四边形由等腰直角和等边拼接而成，将沿折起，使点到达点的位置，且．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）由勾股定理证明，结合可得平面，从而可得平面平面；（2）取的中点，过作，垂足为，可证是二面角的平面角，再计算可得结果.【小问1详解】因为为等边三角形，为等腰直角三角形，由图可知，，，设，则，，故，，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】 取的中点，过作，垂足为，因为，所以，由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以是二面角的平面角，由题意知，，在等腰直角三角形中，，在直角三角形中，，所以.所以二面角的余弦值为.22.已知向量，，其中，函数，且图象的两个相邻对称中心的距离为．（1）求；（2）已知分别为不等边的三个内角的对边，且，，求的面积．【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换公式可得，再根据周期公式可得；（2）根据已知条件求出，再根据正弦定理求出，最后根据三角形面积公式可求出结果.【小问1详解】,依题意得，即.【小问2详解】由（1）得，由，得，因为为不等边三角形，且，，所以，，所以，，或，，当，时，，由正弦定理得，得，所以，当，时，， 由正弦定理得，得，所以.【点睛】易错点点睛：由，以及为不等边三角形，求出时，容易漏掉一解.