山东省聊城市2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022—2023学年度第二学期期中教学质量检测高一数学试题—、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数，则等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘方以及的性质、复数的除法运算，化简得出，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以，故选：D.2.已知向量，，则“”是“与的夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先根据向量运算的坐标表示，求出与的夹角为锐角的充要条件.然后根据范围的大小关系，即可得出答案.【详解】由已知可得，，由可得，，解得.所以，由与的夹角为锐角可得，，解得且， 显然，该范围要小于的范围，所以，“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.3.已知，则（）A.B.0C.D.【答案】A【解析】【分析】根据二倍角公式求出，然后根据诱导公式，即可得出答案.【详解】由已知可得，.又，所以，.故选：A.4如图所示，已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的线性运算计算即可.【详解】.故选：D5.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的最小值为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】得出平移后的解析式，然后根据诱导公式化简得出.结合已知，即可得出，求解即可得出答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位得到函数.又，则由已知，可得，所以，.显然，当时，有最小值.故选：A.6.函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据的图象求得，求得，再根据，求得， 求得的值，即可求解.【详解】根据函数的图象，可得，可得，所以，又由，可得，即，解得，因为，所以.故选：A.7.八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中，给出下列结论：①与的夹角为；②；③；④在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）．其中正确结论为（）A.①B.②C.③D.④【答案】B【解析】 【分析】对四个选项一一判断：对于①：直接求出与的夹角；对于②：利用向量的线性运算直接求解；对于③：利用向量加法的三角形法则直接求解；对于④：由在上的投影向量与方向相反，即可判断.【详解】在图2中，正八边形的对角线把周角进行八等分，所以每一份均为.对于①：与的夹角为.故①错误；对于②：因为.在中，，，所以.而，所以正确.故②正确；对于③：由向量加法的三角形法则得：.故③错误；对于④：由图知，在上的投影向量与方向相反.故④错误.故选：B8.已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若，，则的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】由三角形的内角和定理、诱导公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化简已知条件，可求角，由三角形的面积公式和平面向量数量积的定义可求角，再由三角形的内角和求角，即可判断的形状，进而可得正确选项.【详解】因为，所以，即，由正弦定理可得：，因为，所以， 因为，所以，所以，可得，所以，解得，因为，所以，即，所以，可得，所以，所以的形状是正三角形，故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.D.函数的对称轴是【答案】ABC【解析】【分析】由图象求出函数的周期，即可得出A项；根据图象得出函数的最小值点，然后即可得出的关系式，求解即可得出的值；根据诱导公式化简即可得出C；根据余弦函数的性质，求出对称轴，即可判断D.【详解】对于A项，由图象可知，，所以，所以，所以，函数为，故A项正确；对于B项，由图象可知，函数在处取得最小值，所以有，解得， 所以函数为，故B项正确；对于C项，由AB可知，函数为，故C项正确；对于D项，根据余弦函数的性质，由可得，，所以函数的对称轴为，故D项错误.故选：ABC.10.已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（       ）A.若，则一定是等腰三角形B.若，则C.若为锐角三角形，则D.若，则为锐角三角形【答案】BC【解析】【分析】根据正弦定理边角互化，结合三角形的性质，可判断A、B的正误，根据正弦函数的性质及诱导公式，可判断C的正误，根据数量积公式，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：若，由正弦定理边化角得，所以，即，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B：若，由正弦定理角化边得，根据三角形内大边对大角可得，角，故B正确；对于C：若为锐角三角形，则，所以，因为在上为增函数， 所以，故C正确；对于D：由题意得，所以，即角A为锐角，但无法得到角B、C是否为锐角，所以不能得到为锐角三角形，故D错误.故选：BC11.设有下面四个命题，其中的假命题为（）A.若复数满足，则B.若复数满足，则C.若复数，满足，则D.若复数，则【答案】BC【解析】【分析】根据复数的运算性质，即可判定A正确；取，可判定B不正确；取，可判断C不正确；根据复数的运算法则，可判定D正确.【详解】对于A中，设复数，可得，因为，可得，所以，所以A正确；对于B中，取，可得，所以B不正确；对于C中，例如：，则，此时，所以C不正确；对于D中，设，由，可得，即，可得，所以D正确.故选：BC.12.在给出的下列命题中，正确的是（）A.已知点在所在的平面内，满足，则点是的外心B.已知平面向量，，满足，，则为等腰直角三角形 C.已知平面向量，，满足，且，则是等边三角形D.在矩形ABCD中，，，动点在以点为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为1．【答案】AC【解析】【分析】根据已知即可得出A项正确；由已知可得出点在的平分线上，且，只能得出等腰三角形；根据已知可得出是的外心、重心、垂心，即可得出C项；由已知求出半径，以点为坐标原点，写出点的坐标，用三角函数表示出，然后用辅助角公式，即可得出最值.【详解】对于A项，由已知可得点到三个顶点的距离相等，且在所在的平面内，所以点是的外心，故A正确；对于B项，因为，所以点在平分线上.又，所以，所以.所以，是等腰三角形，但无法确定是否为直角三角形，故B项错误；对于C项，由，结合A的结论，可知点是的外心.又，即.如图1，取中点为，则，所以，所以共线，且，所以，点为的重心.又，所以，所以，所以，点为的垂心. 综上可知，是等边三角形，故C项正确；对于D项，如图2，过点作，垂足为，因为，由，可得，，即圆的半径.以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，，因为在圆上，根据三角函数的定义，可设点，则，，由可知，所以，.设，，，则.当时，取最大值1，有最大值3；当时，取最小值，有最小值1.故D项错误.故选：AC. 【点睛】方法点睛：建立适当的坐标系，得出点的坐标，用坐标表示向量的运算，进而根据三角函数的性质，即可解决问题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，则在上的投影向量的模为______．【答案】【解析】【分析】根据数量积以及模的坐标表示，求出数量积以及模，然后根据投影向量的概念，即可得出答案.【详解】由已知可得，，，所以，在上的投影向量的模为.故答案为：.14.设，复平面内对应的点为．如果满足下列条件：，则点的集合对应图形面积是：________.（计算结果保留）【答案】【解析】【分析】利用复数的几何意义可得所求图形为圆环面，进而可得．【详解】设，其中，，由可得，∴，∴复数对应的点的集合是以为圆心，，为半径的圆所夹的圆环面，∴圆环面积为．故答案为：．15.如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为_______. 【答案】【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，利用计算出两点的坐标，设出点坐标，由此计算出的表达式，，进而求得最值.【详解】以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，设，则①，由得②，由①②解得，故.设，则，当时取得最小值为.故填：.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查向量数量积的坐标表示以及数量积求最值，考查二次函数的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16.已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是_____．【答案】【解析】 【分析】化简函数解析式，由f(x)=0，可得，解得，结合即可得出结论.【详解】．由，可得，解得，．因为在区间内没有零点，所以，且，即且，因为，分别取，1,2,3，，∴的取值范围是，故答案为：．【点睛】关键点点睛：由三角函数化简求出函数零点，，分别取，可得不属于的集合，结合，可判断所在区间即可，属于难题.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17.在中，，，求的值．【答案】【解析】 【分析】根据已知结合同角三角函数的关系式可求出，进而得出A为锐角，根据已知求出.然后根据两角和以及二倍角的正切公式，计算，即可得出答案.【详解】由已知可得，解得，所以，所以，A为锐角.因为，所以，所以.又，所以，所以．18.已知三点，，，为平面上的一点，且，．（1）求；（2）求值．【答案】（1）4；（2）【解析】【分析】（1）根据有向线段的坐标表示求出，再根据数量积的坐标表示即可求出；（2）由可设出，再根据数量积的坐标表示由解出，然后由，根据向量相等列出方程组，解出即可．【详解】（1）因为，，所以． （2）因为，所以，由于，可设．由，得，即，解得，∴，因为，所以，所以，则．【点睛】本题主要考查数量积的坐标表示，向量相等，向量垂直与数量积的关系应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．19.已知，，，，求：（1）的值；（2）的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.【小问1详解】因为，，所以，，所以， ，所以.【小问2详解】因为，，所以，所以，所以.20.已知函数，满足______．（1）求的解析式，并写出的单调递减区间；（2）把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为，求实数的最小值．在①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答． 【答案】（1）任选两条件，解析式为，单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）根据所选条件求出、，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先根据三角函数的变换规则求出的解析式，由的取值范围，求出的取值范围，结合正弦函数的性质从而得到不等式，解得即可.【小问1详解】若选①②：因为函数的一个零点为，所以，所以，所以，因为，所以．因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以．因为，所以，所以函数的解析式为，由，，解得，，所以的单调递减区间为．若选①③：因为函数的一个零点为，所以，所以，所以，因为，所以．因为函数图象的一个最低点的坐标为，所以，所以，所以，即，因为，所以． 所以函数的解析式为，由，，解得，，所以的单调递减区间为．若选②③：因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以．因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为，所以，所以，所以即．因为，所以，所以函数的解析式为，由，，解得，，所以的单调递减区间为．【小问2详解】把的图象向右平移个单位得到，再将向上平移个单位得到，即，由得，因为在区间上的最大值为， 所以在区间上的最大值为1．所以，所以，所以的最小值为．21.已知函数，周期是．（1）求的解析式，写出函数的对称轴；（2）若成立的充分条件是，求的取值范围．【答案】（1），对称轴为，；（2）．【解析】【分析】（1）根据恒等变换化简函数式，由周期求得，得，利用三角函数的对称轴计算即可；（2）原不等式等价于，根据三角函数的性质计算即可.【小问1详解】，由，解得，所以函数，由得，函数的对称轴为，．【小问2详解】由得，因为当时，恒成立，所以只需． 由得，所以，所以，．即．所以的取值范围为．22.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且．（1）求边的长度；（2）若，求的余弦值；（3）在（2）的条件下，若，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理角化边整理可得出，代入已知，即可得出答案；（2）设，的夹角为，根据已知可得出，.结合已知条件，即可得出，解方程即可得出答案；（3）由已知可设，，，然后推得，.根据面积关系，即可推得.然后得出，根据共线推得.进而得出，然后根据的范围，即可得出答案.【小问1详解】 由已知，由正弦定理角化边可得，.由余弦定理角化边可得，，整理可得，，即.因为，所以．【小问2详解】因为为中点，所以.设，的夹角为，则.又，所以，整理可得，解得或.又，所以，，所以，所以的余弦值为．【小问3详解】由（2）可得，.由已知可设，，，所以，，，. 因为，所以.由可得，，即.由G，E，F三点共线，得，即.所以.因为，所以，即，所以，所以，即，即，所以，所以，所以的取值范围为．