山东省临沂市沂水县2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022级普通高中学科素养水平监测试卷高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线在平面外，则（）A.B.与至多有一个公共点C.D.与至少有一个公共点【答案】B【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系判断即可.【详解】因为直线在平面外，所以或与相交，当时与没有公共点，当与相交时与有且仅有一个公共点，所以与至多有一个公共点.故选：B2.（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由诱导公式结合两角差的余弦公式即可得出答案.【详解】.故选：C.3.已知，，，四点，则四边形是（）A梯形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】B【解析】 【分析】首先求出，，的坐标，即可判断，且，即可判断.【详解】因为，，，，所以，，，所以，即且，又，即，又，，即，所以四边形为矩形.故选：B4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意求出，再将所求式化简为，代入即可得出答案.【详解】因为，所以，.故选：C.5.如图，在正方体八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可．【详解】解：设正方体的棱长为，则正方体的表面积是，正四面体，则棱长为，它的表面积是，正四面体的表面积与正方体的表面积之比为．故选：D．6.如图，为了测量河对岸的塔高AB，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，并测得，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长，即可求解.【详解】在中，，，，所以，由正弦定理，可得在直角中，因为，所以， 即塔高为.故选：B.7.已知AB是O的弦，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，设，由余弦定理结合数量积公式即可得出答案.【详解】设，设，，故选：A.8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点到水面的距离（单位：，在水面下，为负数）表示为时间（单位：）的函数，当时，点到水面的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设点，利用点到水面的距离求出函数的解析式，计算时的值即可．【详解】设，则点到水面的距离， 由题可知，与的夹角为，在时间转过的角度为，由图可知，点的纵坐标，因此则点到水面的距离，当时，，所以点到水面的距离为．故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A.若，则点M是BC的中点B.若，则点M是的重心C.若，则点M，B，C三点共线D.若，则，【答案】AC【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及重心的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，如图（1）所示，根据向量的平行四边形法则，可得，若，可得为的中点，所以A正确；对于B中，若为的重心，则满足，即，所以B不正确；对于C中，由，可得，即,所以三点共线，所以C正确； 对于D中，如图（2）所示，由，可得，所以D不正确.故选：AC.10.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则下列说法正确的是（）A.MN∥平面APCB.C1Q∥平面APCC.A，P，M三点共线D.平面MNQ∥平面APC【答案】BC【解析】【分析】对于A，连接MN，AC，则MN∥AC，根据线面平行的判定可判断；对于B，由A知AN∥C1Q，根据线面平行的判定可判断；对于C，由A知，A，P，M三点共线；对于D，由A知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，由此可判断.【详解】如图，对于A，连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN,设AM，CN交于点I，由可得AM，CN交于点P，则平面APC，所以A选项错误；对于B，由A知M，N在平面APC内，由题知AN∥C1Q，且AN⊂平面APC，C1Q平面APC，所以C1Q∥平面APC，所以B选项正确．对于C，由A知，A，P，M三点共线，所以C选项正确． 对于D，由A知MN⊂平面APC，又MN⊂平面MNQ，所以D选项错误．故选：BC.11.函数的图象如图所示，则（）A.B.在上单调递增C.的一个对称中心为D.是奇函数【答案】AB【解析】【分析】由求参数，由此判断A；根据正弦函数的单调性判断B；求出可判断C；求出结合奇偶性可判断D.【详解】由图知：，所以，故，又，所以故，所以A正确；为，所以，所以在区间上单调递增，故B正确；，故C不正确； 是偶函数，故D不正确.故选：AB.12.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的是（）A.该圆台轴截面面积为B.该圆台的体积为C.该圆台的表面积为D.沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为【答案】ABD【解析】【分析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选项B；由台体的表面积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断选项D.【详解】对于，由，且，可得，高，则圆台轴截面的面积为，故A正确；对于B，圆台的体积为，故B正确；对于C，圆台的侧面积为，又，，所以，故C错误；对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角 ．设的中点为，连接，可得，则，又点到的距离，所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共10分．13.已知与是方程的两根，则______．【答案】##【解析】【分析】利用韦达定理及两角和的正切公式计算可得.【详解】因为与是方程的两根，所以，，所以.故答案为：14.在中，角，，，所对的边为，，，若，且，则的形状是______．【答案】等腰直角三角形【解析】【分析】由诱导公式及两角和（差）的正弦公式得到，再由正弦定理将角化边，即可得到，从而得解.【详解】因为，所以，则， 所以，即，因为，所以，所以，即，则，所以为等腰三角形，又，由正弦定理可得，则，所以直角三角形，综上可得为等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形15.阿基米德是伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且内切球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其体积为，则该圆柱内切球的表面积为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，该圆柱的底面圆的半径和母线的关系，可以设出未知数，利用已知的圆柱体积求解出底面圆的半径，再求出圆柱的表面积，再结合圆柱的表面积与其内切球的数量关系，即可得出答案.【详解】设圆柱的底面半径为，则其母线长为，因为圆柱的体积公式为，解得：，因为圆柱的表面积公式，所以，由题知，内切球的表面积也是圆柱表面积的，所以所求圆柱内切球的表面积为.故答案为：16.已知梯形中，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为______．【答案】【解析】 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，根据题意得到，设，求得，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】如图所示，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，因为且，可得，由两点在上运动，且，不妨设，可得，所以，当时，取得最小值.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知向量与的夹角为，且，．（1）求；（2）求向量与向量的夹角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，再由代入求解即可得出答案.（2）设向量与向量的夹角，由向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】 ∵向量与的夹角为，且，，∴．∴．【小问2详解】设向量与向量的夹角，∴，∵，所以，所以向量与向量的夹角为．18.在中，角的对边分别是，且满足．（1）求C；（2）若，的面积为，求边长c的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再由余弦定理求得，即可求解；（2）由的面积为，列出方程求得，结合余弦定理，即可求解.【小问1详解】解：因为，由正弦定理得，即，即，由余弦定理得，又因，所以．【小问2详解】解：由的面积为， 所以，可得，又由，所以．19.如图所示，，，．（1）若，求x与y的关系式．（2）在（1）的条件下，若，求x，y的值及四边形的面积．【答案】（1）（2）分类讨论，答案见解析.【解析】【分析】（1）求得，根据，列出方程，即可求解；（2）由，求得，根据，求得或，分类讨论，求得的值及四边形的面积.【小问1详解】解：由，，因为，所以，解得，即与的关系式为．【小问2详解】解：由向量的运算法则，可得，因为，所以，又因为，代入整理得，解得或，①当时，，可得，， 则，，四边形面积为；②当时，，可得，，，，四边形面积为．20.已知在圆锥SO中，底面的直径，的面积为48．（1）求圆锥SO的表面积；（2）一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间．【答案】（1）（2）；.【解析】【分析】（1）设圆锥的母线长为，底面的直径为，由的面积为，求得，结合圆锥的表面积，即可求解；（2）作出圆锥的轴截面，设球心为，根据，求得，利用体积公式求得球和圆锥的体积，即可求解.【小问1详解】解：设圆锥母线长为，底面的直径为，所以，因为的面积为，所以，解得，由勾股定理，可得母线，由圆锥的表面积公式有：；【小问2详解】解：如图所示，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为，则于，（其中为球的半径），则，可得，即，解得， 所以球的体积，圆锥的体积故圆锥体剩余的空间体积为．21.已知函数．（1）求最小正周期；（2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的单调递增区间；（3）若在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由三角函数的变换规则求出的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（3）由的取值范围求出的取值范围，从而求出函数的值域，依题意可得，解得即可.【小问1详解】因为 ，所以函数的最小正周期为．【小问2详解】将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象，再将的函数图象向右平移个单位，最后得到函数的图象，则，由，，解得，，所以函数的单调递增区间为．【小问3详解】当时，，则所以，在区间上的值域为．由，得，由在上恒成立，得，解得，∴实数的取值范围为．22.如图，在正方体，中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点．求证： （1）证明；F，G，H，B四点共面；（2）平面平面﹔（3）若正方体棱长为1，过A，E，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）画图见解析，截面的面积为．【解析】【分析】（1）连接BH，可得，即可证明F，G，H，B四点共面；（2）由面面平行的判定定理即可证明；（3）取的中点N，连接，，取的中点M，连接，，画出截面，求解即可.【小问1详解】证明：连接BH，∵FG为的中位线，∴，∴F，G，H，B四点共面；【小问2详解】由（1）知，，∵平面，平面，∴平面；∵，平面，平面，∴平面，∵，EF、EG都在面EFG内，∴平面平面【小问3详解】取的中点N，连接，，∴，，取的中点M，连接，，∴，，∴截面为平行四边形，且，所以截面的面积为．