四川省 2022-2023学年高三数学（理）上学期第一次阶段考试试题（Word版附解析）

四川省江油中学2020级高三上期第一次阶段考试理科数学第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若隻合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求集合，再由并集运算求解即可.【详解】，=，则.故选：D.2.下列四个命题中真命题的个数是（）①“x=1”是“”的充分不必要条件；②命题“，”的否定是“，”；③命题p：，，命题q：，，则为真命题；④“若，则为偶函数”的否命题为真命题.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】①由解得或，根据充分、必要条件定义理解判断；②根据全称命题的否定判断；③根据题意可得命题p为真命题，命题q为假命题，则为假命题；④先写出原命题的否命题，取特值，代入判断．【详解】①，则或“”是“或”的充分不必要条件，①为真命题； ②根据全称命题的否定判断可知②为真命题；③命题p：，，命题p为真命题，，命题q为假命题，则为假命题，③为假命题；④“若，则为偶函数”的否命题为“若，则不是偶函数”若，则为偶函数，④为假命题故选：C．3.将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.在上单调递增【答案】D【解析】【分析】利用给定变换求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.【详解】依题意，，则的最小正周期为，A不正确；因为，则直线不是的图象的对称轴，B不正确；因为，则点不是的图象的对称中心，C不正确；当时，，则在上单调递增，D正确.故选：D4.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据已知条件等价为在上恒成立，即在上恒成立，求解的取值情况即可得出结果.【详解】由题意，已知条件等价为在上恒成立，即在上恒成立，令，在上单调递减，，，的取值范围是.故选：B.5.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接，因为是的中点， 所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以.故选：B.6.如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.7.已知，，为正实数，满足，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，，，，在同一坐标系中作出函数的图象，可得答案.【详解】设，，，在同一坐标系中作出函数的图象，如图为函数的交点的横坐标为函数的交点的横坐标为函数的交点的横坐标根据图像可得：故选：D 8.当时，函数取得最大值，则（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.9.已知，且，成立的充分而不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别讨论和两种情况，根据对数函数单调性，可得a的范围，根据充分、必要条 件的概念，分析即可得答案.【详解】当时，在为单调递增函数，则恒成立，当时，在为单调递减函数，由，可得，解得，综上使成立a的范围是，由题意：“选项”是使“”成立的充分而不必要条件，所以由“选项”可推出“”成立，反之不成立，分析选项可得，只有A符合题意，故选：A10.已知函数若，且，则（）A.B.0C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式求出，结合即可求出，进而得出结果.【详解】由题意知，，又，所以，所以，解得故选：C11.已知定义在R上的偶函数满足，，若，则关于x的不等式的解集为（）A.（4，+∞）B.（-∞，4）C.（-∞，3）D.（3，+∞）【答案】A 【解析】【分析】根据定义在R上的偶函数满足可得的周期，构造函数，再将转化为关于的不等式，根据得到的单调性再求解即可【详解】因为定义在R上的偶函数满足，故，故，即，所以，即的周期为3.又，故，即.因为，即，故构造函数，则，且.综上有在R上单调递增，且.又即，，所以，解得故选：A12.若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于的零点，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依题意得，，则，即是，从而同构函数，，利用的单调性得到，代入求解即可.【详解】依题意得，，即，，，即，， ，，又，同构函数：，，则，又，，，，又，，单调递增，，.故选：C.【点睛】关键点点睛：（1）函数零点即为函数的取值；（2）对两个方程合理的变形，达到形式同一，进而同构函数，，其中应注意定义域；（3）运用导数研究函数的单调性，进而确定；（4）求解的值时，将替换后应注意分子的取值.第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．14.若，，则tanα＝__________．【答案】##【解析】【分析】由商数关系，二倍角公式变形后求得，再由同角关系式求得，．【详解】因为，所以，因为，所以，所以，解得，所以，所以．故答案为：．15.函数在上单调递增，且图象关于直线对称，则的值为____________. 【答案】【解析】【分析】由，得到，根据的在上单调递增，得到，从而得到的范围，再根据图象关于直线对称，表示出，从而得到的值.【详解】因为，所以，因为函数在上单调递增，所以即，解得且，又，∴，即，又函数的图象关于直线对称，所以，得，又，所以取，则.故答案：.【点睛】本题考查根据正弦型函数的单调区间求参数的范围，根据正弦型函数的对称轴求参数的值，属于中档题.16.已知函数，函数，则下列结论正确的是__________． ①若有3个不同的零点，则a的取值范围是②若有4个不同的零点，则a的取值范围是③若有4个不同的零点，则④若有4个不同的零点，则的取值范围是【答案】②③④【解析】【分析】根据题意，将问题转化为函数与图像的交点个数问题，进而数形结合求解即可得答案．【详解】令，得，即所以零点个数为函数与图像的交点个数，作出函数图像如图，由图可知，有3个不同的零点，则的取值范围是，，故①错误；有4个不同的零点，则的取值范围是，故②正确；有4个不同的零点，，，，此时，关于直线对称，所以，故③正确；由③可知，所以，由于有4个不同的零点，的取值范围是，故， 所以，故④选项正确．故答案为：②③④．【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将问题转化为函数与图像的交点个数问题，数形结合得出答案，考查等价转化的思想.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.已知函数.（1）若，求的极值.（2）若方程在区间上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值（2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域与导数导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）对参数分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值（最值），从而得到不等式，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】解：因为定义域为，所以，当时，，，令得当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】解：因为，①若，当时恒成立，所以在上单调递增要使方程在上有解，则即得，因为，所以.②若，当时恒成立，所以在上单调递减，此时不符合条件.③若，当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，此时，，要使方程在上有解，则需，解得，所以.综上可知，的取值范围为18.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）易知函数的定点M的坐标为，利用三角函数的定义则可求出，则可求出答案；（2）利用诱导公式化简，再将，，代入，即可得出答案.【小问1详解】∵函数（且）的定点M的坐标为，∴角的终边经过点，∴（O为坐标原点），根据三角函数的定义可知，，∴.小问2详解】.19.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若方程在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式将函数解析式化简，利用正弦函数的增区间求得函数的单调增区间；（2）将问题转化为的图像与直线在区间上有交点，结合图像求得结果. 【小问1详解】由诱导公式，，令，解得，所以函数单调递增区间.【小问2详解】由题意，函数在上有解，即函数在有交点，因为，可得，所以要使得函数在有交点，如图所示，则.20.已知函数为偶函数.（1）求实数的值;（2）解关于的不等式;（3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可； （3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.【小问1详解】函数的定义或为，函数为偶函数.，即，，；【小问2详解】，当时，，单调递增，在上单调递增，又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；，，解得或，所以所求不等式的解集为；【小问3详解】函数与图象有个公共点，，即，，设，则，即， 又在上单调递增，所以方程有两个不等的正根；，解得，即的取值范围为.21.已知函数．（1）证明：；（2）设函数，，其中，若函数存在非负的极小值，求a的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）直接求导得，再令，再次求导利用余弦函数的有界性即可得在上单调递增，结合即可得到，即证明原不等式；（2），结合（1）中的结论再分和讨论即可.【小问1详解】，令，则．∵当时，，∴恒成立，即在上单调递增．又，∴当时，；当时，．∴函数在上单调递减，在上单调递增．∴．∴． 【小问2详解】．由（1）知在上单调递增，∴当时，，即；当时，，即．（i）当时，在上恒成立，∴当时，；当时，．∴函数在上单调递减，在上单调递增．∴，即．（ii）当时，由，解得，，函数在上单调递减．①当时，．当时，；当时，；当时，．∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，∴．不符合题意．②当时，．当时，有恒成立，故在上单调递减．∴函数不存在极小值，不符合题意．③当时，．当时，；当时，；当时，．∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．∴．不符合题意．综上所述，若函数存在非负的极小值，则a的取值范围为．【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用（1）中的结论：即的单调性，然后再对进行分类讨论，即分，，以及讨论即可.（二）选考题（共10分，请在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22.如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧，所在圆的圆心分别为，，M是半圆弧上的一个动点．（1）当时，求点M的极坐标；（2）以O为坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系．若点N为线段的中点，求点N的轨迹方程．【答案】（1）（2）（为参数，且）【解析】【分析】（1）由题意得到点M的极角为，在中，利用正弦定理列出方程，求得的长，即可求解；（2）求得的参数方程为，结合线段的中点N的坐标为，利用中点坐标公式，即可求解.【小问1详解】解：由，，可得点M的极角为． 在等腰中，由正弦定理得，即．所以，所以点M的极坐标为．【小问2详解】解：由题意，在直角坐标系中，点M在以为圆心，1为半径的半圆弧上，其参数方程为（为参数，且）．设线段的中点N的坐标为，又由点，，根据中点坐标公式可得，所以点N的轨迹方程为（为参数，且）．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数．（1）画出和的图像； （2）若，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.【详解】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下： （2），如图，同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.