四川省 2022-2023学年高三数学（理）上学期第三次阶段考试试题（Word版附解析）

四川省江油中学2020级高三上期第三次阶段考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知集合，，则集合的元素个数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集运算求解.【详解】∵，∴，即集合的元素个数为3.故选：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据指对、数函数的单调性结合充分、必要条件分析判断.【详解】∵在上单调递增，∴，又∵在R上单调递增，∴，由可得，但由不能得到，例如，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知两个非零向量，的夹角为60°，且，则（） A.B.C.D.3【答案】C【解析】【分析】根据向量的垂直关系可得，进而根据模长公式即可求解.【详解】由得，，所以，故选：C4.北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚､王亚平､叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）､火箭的质量（除燃料外）m（单位：）的关系是.为使火箭的最大速度达到8100，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据）（）A.13B.14C.15D.16【答案】B【解析】【分析】将火箭的最大速度8100代入中，结合对数、指数运算即可求得答案. 【详解】由题意可得，将火箭的最大速度8100代入中，得：，即，所以，故，故选:B5.某函数在上的部分图象如图，则函数解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由图形可得：当时恒成立，先减后增，.对A、C：通过符号判断；对B：求导，利用导数判断单调性和最值，并代入检验；对D：代入检验即可.【详解】由图形可得：当时恒成立，先减后增，.对A：当时，则，故，A错误；对B：， ∵，则，当时，则，则，当时，则，则，∴上单调递减，在上单调递增，则，又∵，则，B正确；对C：当时，则，故，C错误；对D：，D错误.故选：B.6.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（）A若，则B.若为锐角三角形，则C.若，则一定为直角三角形D.若，则可以是钝角三角形【答案】D【解析】【分析】A.由正弦定理及三角形中大角对大边即可判断.B.通过内角和为化简，再借助角为锐角得到角满足的关系，在再取角的正弦值化简即可.C.边化角，运用两角差的正弦公式化简，得到角的关系，再借助内角和为计算即可得到.D.通过内角和为化简角，再利用两角和的正切公式化简即可得到，然后判断即可.【详解】A.因为，所以由正弦定理知，又因为在三角形中大角对大边，所以.故选项A正确.B.因为为锐角三角形，所以，即，所以.故选项B正确.C.由正弦定理边化角得,则或 （舍），则,即，则一定为直角三角形.故选项C正确.D.又因为最多只有一个角为钝角，所以，即三个角都为锐角,所以为锐角三角形.故选项D错误.故选：D.7.已知数列的前n项和为，若，则不可能是（）A.公差大于0的等差数列B.公差小于0的等差数列C.公比大于0的等比数列D.公比小于0的等比数列【答案】C【解析】【分析】根据等差数列前项和、等比数列前项和公式确定正确答案.【详解】，则，若是等差数列，设其公差为，，所以，可正可负.若是等比数列，设其公比为，若，则是公比为的等比数列，满足.当时，若，则，不成立.若且，则，不成立所以不可能是公比大于0的等比数列.故选：C8.已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，若是函数的一个极大 值点，是与其相邻的一个零点，则的值为（）A.B.0C.1D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象的变换，以及的极大值点和零点求得解析式，再求函数值即可.【详解】函数的图象先向左平移个单位长度，得到的图象，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到的图象；由题可知，，解得，则，又，故可得，解得，故.故选：C.9.已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论不正确的是（）A.圆关于轴的对称圆的方程为B.若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为C.若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则D.若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为【答案】C【解析】【分析】对于A，由对称的性质直接求解即可，对于B，由题意可知入射光线所在的直线过点和，从而可求出直线方程，对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点，则，然后由圆的性质可求出，进而可求得的值，对于D，设 ，，表示弦长和弦心距，可表示出面积，从而可求出其最大值【详解】对于A，由圆方程可得，故圆心，半径，圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为，所求圆的方程为：，即，A正确；对于B，反射光线平分圆的周长，反射光线经过圆心，入射光线所在直线经过点，，入射光线所在直线方程为：，即，B正确；对于C，反射光线经过点关于轴的对称点，，，则，C错误；对于D，设，则圆心到直线的距离，，， 则当时，，D正确.故选：C.10.定义在上的奇函数的图象关于对称；且当时，．则方程所有的根之和为（）A.10B.12C.14D.16【答案】A【解析】【分析】根据题意函数为周期为4的周期函数，再根据当时，，求导分析函数的单调性，从而画出简图，根据函数的图象及性质求解零点和即可.【详解】∵为奇函数，∴，又∵关于直线对称，∴函数为偶函数，故，所以，又，所以，故为周期函数，周期为4，当时，，所以在上单调递增，作函数图象如下方程可化为，方程的解即函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，作函数的图象，∴方程的所有实根之和为.故选：A． 11.已知双曲线：与抛物线：有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线相交于点B，若点A为线段FB的中点，双曲线的离心率为，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据几何关系，求得点坐标，结合点在双曲线渐近线上，求得的等量关系，整理化简即可求得双曲线离心率.【详解】根据题意，作图如下：因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，又到的距离，即，又为中点，则，设点，则，解得；由可得，则由等面积可知：，解得，则，则，又点在渐近线上，即，即，又，联立得，即，解得， 故.故选：B.12.已知函数，（）的三个零点分别为，，，其中，的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造，结合零点个数及单调性求出，求出且，利用基本不等式得到，从而得到答案.【详解】∵，令，即，（）令，（），则，则，（），令，（），要想除1外再有两个零点，则在上不单调，则，解得：或，当时，在恒成立，则在单调递增，不可能有两个零点， 当时，设，即的两根为，且，则有，故，令，解得：或，令，解得：，所以在，上单调递增，在上单调递减，因为，所以，又因为，若，则，因为，所以，所以，因为，故.检验：当时，（），，此时在上单调递增，又，即，此时为临界情况，；综上：的取值范围为.故选：D.【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.已知是虚数单位，复数满足，则___________.【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，然后根据复数的模的公式化简求解.【详解】因为，所以所以，故答案为：.14.某学校志愿者协会有高一年级120人，高二年级100人，高三年级20人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若从高二年级100人中抽取的人数为10，则___________；【答案】24【解析】【分析】由分层抽样等比例性质求样本容量.【详解】由题意，，可得.故答案为：2415.已知实数满足，，，则的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】设，为坐标原点，则，由题意两点在圆 上，且三角形为等边三角形，，由的几何意义为两点到直线的距离与之和，记线段的中点分别是，到直线的距离为，根据，且即可得答案.【详解】解：设，为坐标原点，则，由，可得两点在圆上，且，则，所以三角形为等边三角形，，的几何意义为两点到直线的距离与之和，记线段的中点分别是，到直线的距离为，则有，且，所以，所以的最大值为，故答案为：.16.过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，，切点为，（，不重合），设直线，分别与y轴交于点A，B，则下列结论中正确的序号为______．①两点的横坐标之积为定值；②直线的斜率为定值；③线段AB的长度为定值；④三角形ABP面积的取值范围为． 【答案】①②③【解析】【分析】设点、的横坐标分别为、，且，分析可知或，利用导数的几何意义可判断①的正误；利用斜率公式可判断②的正误；求出点、的坐标，利用两点间的距离公式可判断③的正误；求出点的横坐标，利用三角形的面积公式可判断④的正误.【详解】因为，所以，当时，；当时，，不妨设点、的横坐标分别为、，且，若时，直线、的斜率分别为、，此时，不合乎题意；若时，则直线、的斜率分别为、，此时，不合乎题意.所以，或，则，，由题意可得，可得，若，则；若，则，不合乎题意，所以，，①对；对于②，易知点、，所以，直线的斜率为，②对；对于③，直线的方程为，令可得，即点，直线的方程为，令可得，即点，所以，，③对； 对于④，联立可得，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则当时，，所以，，④错.故答案为：①②③【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的综合问题，需要根据题意设切点横坐标，并根据题意列式分析横坐标满足的关系式，同时也需要构造函数分析所求式的单调性于最值，属于难题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.近年来，新能源汽车产业大规模发展，某品牌汽车投人市场以来，受到多位消费者欢迎，汽车厂家为扩大销售，对旗下两种车型电池续航进行满意度调查，制作了如下2×2列联表.不满意满意合计男18女40合计100已知从全部100人中随机抽取1人调查满意度为满意的概率为0.150.100.050.100.0012.0722.7063.8416.63510.828附：，其中.（1）完成上面的2×2列联表；（2）根据（2）中的2×2列联表，判断是否有90%的把握认为满意度与消费者的性别有关?【答案】（1）详见解析（2）没有90%的把握认满意度是否与消费者的性别有关. 【解析】【分析】（1）根据从全部100人中随机抽取1人调查满意度为满意的概率为得到调查满意度为满意的人数，然后填2×2列联表即可；（2）根据2×2列联表计算，然后判断即可.【小问1详解】根据题意，满意的总人数为，∴完成2×2列联表如下：不满意满意合计男183048女124052合计3070100【小问2详解】∵，∴没有90%的把握认满意度是否与消费者的性别有关.18.已知数列的首项，且满足，设.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求满足条件的最小正整数.【答案】（1）证明见解析（2）140【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）利用分组求和的方法得到，然后利用的增减性解不等式即可.【小问1详解】 ，，所以数列为首项为，公比为等比数列.【小问2详解】由（1）可得，即∴而随着的增大而增大要使，即，则，∴的最小值为140.19.在△ABC中，．（1）求B的值；（2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： （i）求的值；（ii）求∠ABC的角平分线BD的长．【答案】（1）（2）正确条件为①③，（i），（ii）【解析】【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值；（2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求；（ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长．【小问1详解】由题设，而，所以，故；【小问2详解】若①②正确，则，得或，所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，若②③正确，则，可得，即②为错误条件，综上，正确条件为①③，（i）由，则，即，又，可得，所以，可得，则， 故；（ii）因为且，得，由平分得，在中，，在中，由，得．20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，.若的周长为6，面积为.（1）求曲线的方程；（2）设动直线过定点与曲线交于不同两点，（点在轴上方），在线段上取点使得，证明：当直线运动过程中，点在某定直线上.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据的周长为6，面积为得到关于的方程计算可得答案；（2）设，，，设，由，，转化为坐标运算和点在椭圆上计算可得答案.【小问1详解】 由题意可知，解得，从而，椭圆的方程为：；【小问2详解】设，，，设（，且），所以，，于是，，，，从而①，②，又点，在椭圆上，即，③，，④，由并结合③④可得，即点总在定直线上.21.已知函数．（1）若函数在处的切线与直线垂直，求的值；（2）若存在三个极值点，，，且，求证．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】对函数进行求导，结合，求得的值；由存在三个极值点，确定方程有两个不相等的实数根，且都不是，令，求导分析单调性，确定，分别求证和两部分成立. 【小问1详解】解：由可知，函数的定义域为，则，且，解得.【小问2详解】解：，因为存在三个极值点，所以方程有两个不相等的实数根，且都不是.所以令，则，当时，，所以单调递增，至多有一个实数根，所以，令，得，令，得.所以在上单调递减，在上单调递增.所以，所以.因，，，其中令，则，所以在上单调递增，，所以，因为，所以，即，所以所以存在三个极值点，其中.又因为，，则，，即，设代入上式得：，即，. 要证，即，只需证，即证.令，，所以在上单调递增，因为，所以，得证；要证，即，只需证，即证，则证，即，只需证，令，，所以，所以在上单调递减，因为，所以，得证.综上所述，若存在三个极值点，，，且时，．【点睛】本题中进行恒等变形得到，然后换元，令，不等式转化为是解题的关键，这类问题反复利用导数研究单调性，分步证明，综合性很强，属于难题.选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22.在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）在平面直角坐标中，若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求证：成等差数列．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用消参法求曲线的普通方程，并注意y的取值范围，再利用求曲线的极坐标方程；（2）先求直线l的参数方程，根据直线参数方程的几何意义运算求解.【小问1详解】由得，代入整理得，即，∵，则，，故曲线的普通方程为，又∵，则，整理得曲线的极坐标方程为【小问2详解】由题意可得：直线l的参数方程为（t为参数），代入，整理得，∴，， 则，即，∴成等差数列23.已知函数（），若函数的最小值为5.（1）求的值；（2）若均为正实数，且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用绝对值的代数意义去掉绝对值符号转化为分段函数，再利用分段函数的单调性求其最值即可求解；（2）利用柯西不等式进行求解.【小问1详解】因为，所以，即，则在内单调递减，在内单调递增，所以，由题意，得，解得.【小问2详解】由（1）知，， ，当且仅当、、时取等号，所以的最小值为.