十年高考数学真题分项汇编（2014-2023）（理科）专题19概率统计多选、填空题（理科）（Word版附解析）

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—概率统计多选、填空题目录题型一：计数原理与排列组合1题型二：二项式定理3题型三：简单的随机抽样11题型四：用样本数字特征估计总体11题型五：相关关系与回归分析15题型六：独立性检验15题型七：事件与概率15题型八：随机变量的分布列22题型一：计数原理与排列组合一、填空题1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第13题)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．【答案】64解析：(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；(2)当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；综上所述：不同的选课方案共有种．故答案为：64．2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第14题)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．【答案】解析：4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有： 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种故答案为：．【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．3．(2018年高考数学浙江卷·第16题)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．(用数字作答)【答案】1260解析：解法1：分类讨论四位数中有数字0的有种，无数字0的有种，则共可以组成个没有重复数字的四位数．解法2：正难则反无限制四位数有种，其中数字0在首位的有种，则共可以组成个没有重复数字的四位数．4．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第15题)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．。(用数字填写答案)【答案】16解析：方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，方法二，间接法：种．5．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有　　　个(用数字作答)．【答案】24解：用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，其中数字1、2相邻的偶数。可以分情况讨论：①若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成个五位数；②若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有个五位数；③若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。6．(2014高考数学北京理科·第13题)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种．【答案】36解析：先将A、B捆绑在一起当做一个元素，和D、E排列，再考虑A、B可以交换位置，这4个元素共有种排法，最后插入C，由于C不能够和A相邻，有种插法。故共有种方法7．(2015高考数学广东理科·第12题)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。(用数字做答) 【答案】1560解析：依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了条毕业留言，故应填入1560．8．(2017年高考数学天津理科·第14题)用数字组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个．(用数字作答)【答案】【解析】依题意按分类计数原理操作:(1)当没有一个数字是偶数时,从这五个数字中任取四个得无重复数字的四位数有个(或个);(2)当仅有一个数字是偶数时,先从中任取一个,再从中任取三个,然后进行全排列得到无重复数字的四位数有;故由分类计数原理得这样的四位数共有个．9．(2017年高考数学上海(文理科)·第6题)若排列数,则________．【答案】3【解析】,则．10．(2015高考数学上海理科·第8题)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为(结果用数值表示)．【答案】解析：这里男女老师都要有的话，可以分男1、女4，男2、女3和男3、女4所以有．11．(2014高考数学浙江理科·第14题)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种(用数字作答)．【答案】解析：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有种，共有种．故答案为：60．12．(2017年高考数学浙江文理科·第16题)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法．(用数字作答)【答案】660【解析】(间接法)应用乘法原理分2步完成:第一步,8名学生中选4人(至少有1名女生)即8名学生中任选4人去掉全是男生的情况有种选法;第二步分配职务,4人里选2人担任队长和副队长有种选法．所以,共有种选法．(直接法)应用乘法原理分2步完成:第一步,8名学生中选4人(至少有1名女生),其中1女3男有种选法和2女2男有种选法;第二步分配职务,4人里选2人担任队长和副队长有种选法．所以,共有种选法．【考点】计数原理,排列组合 题型二：二项式定理一、填空题1．(2023年天津卷·第11题)在的展开式中，项的系数为_________．【答案】解析：展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为．故答案为：60．2．(2021年高考浙江卷·第13题)已知多项式，则___________，___________【答案】(1)．;(2)．．解析:，，所以，，所以故答案为．3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第14题)的展开式中常数项是__________(用数字作答)．【答案】解析：其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：． 故答案为：．【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．4．(2020年浙江省高考数学试卷·第12题)设，则a5=________；a1+a2+a3=________．【答案】(1)．80(2)．122解析：的通项为，令，则，；5．(2022新高考全国I卷·第13题)展开式中的系数为________________(用数字作答)．【答案】-28解析：因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-286．(2021高考天津·第11题)在的展开式中，的系数是__________．【答案】160解析：的展开式的通项为，令，解得，所以的系数是．故答案：160．7．(2021高考北京·第11题)在的展开式中，常数项为__________．【答案】解析：的展开式的通项令，解得，故常数项为． 8．(2020天津高考·第11题)在的展开式中，的系数是_________．【答案】10【解析】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．9．(2019·浙江·第13题)在二项式的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是．【答案】，【解析】展开式的通项为，当时，可得二项式展开式的常数项是．若系数为有理数，则为偶数即可，故可取1,3,4,5,7,9，即共5项．10．(2019·天津·理·第10题)的展开式中的常数项为．【答案】28解析：的展开式中的常数项为．11．(2019·上海·第4题)已知二项式，则展开式中含项的系数为________.【答案】40【解析】令，则，系数为.【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题．12．(2018年高考数学浙江卷·第14题)二项式的展开式的常数项是．【答案】7解析：，令，得，，故二项式的展开式的常数项是7．13．(2018年高考数学上海·第3题)在的二项展开式中，项的系数为．【答案】21解析：由得，所以项的系数为． 14．(2018年高考数学天津(理)·第10题)在的展开式中，的系数为．【答案】解析：展开式的通项，令，得，所以展开式中的系数为．15．的二项展开式中的系数是　　　　　(用数字作答)．【答案】35解：的二项式展开式中项为，x项的系数是35．16．(2014高考数学山东理科·第14题)若的展开式中项的系数为，则的最小值为．【答案】解析：的展开通项为，令，得，所以，，．17．(2014高考数学课标2理科·第13题)的展开式中，的系数为15，则=________．(用数字填写答案)【答案】解析：故18．(2014高考数学课标1理科·第13题)的展开式中的系数为________．(用数字填写答案)【答案】20解析:展开式的通项为,∴,∴的展开式中的项为,故系数为20．19．(2014高考数学大纲理科·第13题)的展开式中的系数为．【答案】70解析：根据二项展开式可得展开式的通项为， 令，所以，所求的系数为．20．(2014高考数学安徽理科·第13题)设，是大于的自然数，的展开式为．若点()的位置如图所示，则．【答案】3解析：根据点和可得，解之得．21．(2015高考数学重庆理科·第12题)的展开式中的系数是________(用数字作答)．【答案】解析：二项展开式通项为，令，解得，因此的系数为．22．(2015高考数学新课标2理科·第15题)的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．【答案】分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．23．(2015高考数学天津理科·第12题)在的展开式中，的系数为．【答案】解析：展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为．24．(2015高考数学四川理科·第11题)在的展开式中，含的项的系数是________(用数字填写答案) 【答案】．解析：，所以的系数为．25．(2015高考数学上海理科·第11题)在的展开式中，项的系数为．(结果用数值表示)【答案】解析：在中要得到项的系数，肯定不能含有项，故只有，而对于，项的系数为．26．(2015高考数学广东理科·第9题)在的展开式中，x的系数为．【答案】6解析：由题可知，令解得，所以展开式中的系数为，故应填入．27．(2015高考数学福建理科·第11题)的展开式中，的系数等于．(用数字作答)【答案】解析：的展开式中项为，所以的系数等于．28．(2015高考数学北京理科·第9题)在的展开式中，的系数为．(用数字作答)【答案】40解析：利用通项公式，，令，得出的系数为．29．(2015高考数学安徽理科·第11题)的展开式中的系数是．(用数字填写答案)【答案】解析：由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是．30．(2017年高考数学浙江文理科·第13题)已知多项式,则_____,_______．【答案】【解析】,所以,．31．(2017年高考数学山东理科·第11题)已知的展开式中含有项的系数是,则__________．【答案】【解析】,令得:,解得．32．(2016高考数学天津理科·第10题)的展开式中的系数为_____________．(用数字作答)【答案】 解析：因为所以，所以展开式中的系数为33．(2016高考数学上海理科·第8题)在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．【答案】解析：因为二项式所有项的二项系数之和为，所以，所以，二项式展开式的通项为，令，得，所以．34．(2016高考数学山东理科·第12题)若的展开式中的系数是，则实数_______．【答案】【解析】因为所以由，因此35．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第14题)的展开式中，的系数是．(用数字填写答案)【答案】10【解析】设展开式的第项为，∴．当时，，即．故答案为10．36．(2016高考数学北京理科·第10题)在的展开式中，的系数为__________________．(用数字作答)【答案】解析：由二项式定理得含的项为．二、多选题1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第12题)设正整数，其中，记．则(　　)A．B．C．D．【答案】ACD解析:对于A选项，，，所以， ，A选项正确；对于B选项，取，，，而，则，即，B选项错误；对于C选项，，所以，，，所以，，因此，，C选项正确；对于D选项，，故，D选项正确．故选ACD．题型三：简单的随机抽样1．(2014高考数学天津理科·第9题)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为,则应从一年级本科生中抽取_________名学生．【答案】解析:设应从一年级本科生中抽取名,则,解得．2．(2017年高考数学江苏文理科·第3题)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取____________件．【答案】18解析:所求人数为,故答案为18．题型四：用样本数字特征估计总体1．(2020江苏高考·第3题)已知一组数据的平均数为4，则的值是_____．【答案】2【解析】数据的平均数为4,，即．故答案为：2．2．(2019·全国Ⅱ·理·第13题)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　　．【答案】.【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为． 【点评】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．3．(2019·江苏·第5题)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是.【答案】【解析】由所以．4．(2018年高考数学江苏卷·第3题)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90解析：由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，故平均数为所求人数为．5．(2014高考数学江苏·第6题)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm．10080901101201300.0100.0150.0200.0250.030底部周长/cm（第6题）【答案】24解析：由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为(0．015+0．025)1060=24．6．(2015高考数学湖南理科·第12题)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是． 【答案】．解析：由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数为人．7．(2015高考数学江苏文理·第2题)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为_______．【答案】6解析：8．(2016高考数学上海理科·第4题)某次体检，6位同学的身高(单位：米)分别为，，，，，则这组数据的中位数是_________(米)．【答案】解析：将这6位同学的身高按照从低到高排列为：，，，，，这六个数的中位数是与的平均数，显然为．9．(2016高考数学江苏文理科·第4题)已知一组数据4．7，4．8，5．1，5．4，5．5，则该组数据的方差是．【答案】．解析：，．二、多选题1．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第9题)有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则(　　)A．的平均数等于的平均数B．的中位数等于的中位数C．的标准差不小于的标准差D．的极差不大于的极差【答案】BD解析：对于选项A：设的平均数为，的平均数为，则，因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设，可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；对于选项C：因为是最小值，是最大值，则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差，例如：，则平均数，标准差，，则平均数，标准差，显然，即；故C错误；对于选项D：不妨设，则，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：BD．2．(2021年新高考Ⅰ卷·第9题)有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则(　　)A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样数据的样本极差相同【答案】CD解析:A：且，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；C：，故方差相同，正确；D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；故选CD． 3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第9题)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是(　　)A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD解析：由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;题型五：相关关系与回归分析题型六：独立性检验题型七：事件与概率1．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第13题)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】解析：从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答案为：2．(2021高考天津·第14题)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】①．②．解析：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．故答案为：；．3．(2020天津高考·第13题)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】(1)．(2)．【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．故答案为：；．4．(2023年天津卷·第13题)甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．【答案】①．②．## 解析：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；甲盒中黑球个数为，白球个数为；甲盒中黑球个数为，白球个数为；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以，；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，黑球总共有个，白球共有个，所以，．故答案为：；．5．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第15题)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】．【解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．故答案为：．6．(2020江苏高考·第4题)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____．【答案】【解析】根据题意可得基本事件数总为个．点数和为5的基本事件有，，，共4个．∴出现向上的点数和为5的概率为．故答案为：．7．(2019·上海·第10题)某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.【答案】【解析】法一：(分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字) 法二：(分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同)8．(2019·江苏·第6题)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.【答案】【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中不含女生的方法有3种，因此所求概率为．9．(2018年高考数学江苏卷·第6题)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．【答案】解析：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为．10．(2018年高考数学上海·第9题)有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个．从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是．【答案】解析：因为9为奇数．所以拿取砝码的情况有：①三个砝码中有2个偶数克(2克)，一个奇数克(5克)；②三个砝码中没有偶数，三个全为奇数克，即5克、3克、1克砝码全部取出．所以所求概率为．11．(2014高考数学上海理科·第10题)为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随即选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_____________(结果用最简分数表示)．【答案】解析:设连续10天依次为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10,则连续3天可有1、2、3;2、3、4;3、4、5;4、5、6;5、6、7;6、7、8;7、8、9;8、9、10共8种情况,则．12．(2014高考数学辽宁理科·第14题)正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是． 【答案】解析：∵A(﹣1，﹣1)，B(1，﹣1)，C(1，1)，D(﹣1，1)，∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．13．(2014高考数学江西理科·第13题)10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是________．【答案】分析:从10件产品中任取4件,共有种基本事件,恰好取到1件次品就是取到1件次品且取到3件正品,共有,因此所求概率为14．(2014高考数学广东理科·第11题)从中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为【答案】．解析：基本事件种，包括6且6为中位数的，前3个数从0—5六个数中选3个，后三个数只能是7、8、9，故满足题意的事件有种，从而概率为．本题主要分析准确6为7个数的中位数这个条件就可以很快做出来．15．(2014高考数学江苏·第4题)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．【答案】解析：从1，2，3，6这4个数中任取2个数共有种取法，其中乘积为6的有和两种取法，因此所求概率为．16．(2014高考数学福建理科·第14题)如图，在边长为的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________． 【答案】．解析：由题意，与关于对称，∴阴影部分的面积为，∵边长为(为自然对数的底数)的正方形的面积为，∴落到阴影部分的概率为．故答案为：．17．(2015高考数学福建理科·第13题)如图，点的坐标为，点的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【答案】解析：由已知得阴影部分面积为．所以此点取自阴影部分的概率等于．18．(2015高考数学江苏文理·第5题)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_______．【答案】解析：从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，不同的共有5种，所以其概率为19．(2017年高考数学上海(文理科)·第13题)已知四个函数:①;②;③;④．从中任选2个,则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________．【答案】 【解析】①③、①④的图像有一个公共点,∴概率为．20．(2017年高考数学江苏文理科·第7题)记函数的定义域为．在区间上随机取一个数,则的概率是________．【答案】解析:由,得,根据几何概型的概率计算公式得的概率是．21．(2016高考数学上海理科·第14题)如图，在平面直角坐标系中，O为正八边形的中心，．任取不同的两点，点满足，则点落在第一象限的概率是．【答案】解析：共有种基本事件，其中使点P落在第一象限共有种基本事件，故概率为．22．(2016高考数学山东理科·第14题)在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为．【答案】【解析】直线与圆相交，需满足圆心到直线的距离小于半径，即 ,解得,而,所以所求概率．23．(2016高考数学江苏文理科·第7题)将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有个点为正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．【答案】．解析：将先后两次点数记为，则共有个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有六种，则点数之和小于10共有30种，概率为．二、多选题1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第12题)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)．(　　)A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD解析：对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确．故选：ABD题型八：随机变量的分布列1．(2020年浙江省高考数学试卷·第16题)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则_______；______．【答案】(1)．(2)．解析：因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以，随机变量，，，所以．2．(2022年浙江省高考数学试题·第15题)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．【答案】①．，②．##解析:从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，， 所以,故答案为：，．3．(2015高考数学广东理科·第13题)已知随机变量服从二项分布．若，，则．【答案】解析：依题可得且，解得，故应填入．4．(2019·全国Ⅰ·理·第15题)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是．【答案】解析：因为甲队以4：1获胜，故一共进行5场比赛，且第5场为甲胜，前面4场比赛甲输一场，若第1场或第2场输1场，则，若第3场或第4场输1场，则，所以甲以4：1获胜的概率是．5．(2021年高考浙江卷·第15题)袋中有4个红球m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________．【答案】(1)．1(2)．解析:，所以，,所以,则．由于．故答案为1；．6．(2022新高考全国II卷·第13题)．已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．【答案】解析：因为，所以，因此 ．故答案为：．7．(2014高考数学浙江理科·第12题)随机变量的取值为0,1,2，若，，则________．【答案】解析：设则由已知得，解得，，所以．故答案为：8．(2014高考数学上海理科·第13题)某游戏的得分为，随机变量表示小白玩该游戏的得分．若，则小白得5分的概率至少为_____________．【答案】解析:设小白得1,2,3,5分的概率分别为则当时等号成立．另解：注意到．要使得得5分的概率最少，则小白得1,2,3分的概率为0，设小白得5分的概率为，则9．(2015高考数学上海理科·第12题)赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1．4倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量和分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则(元)．【答案】解析：由题可知，所以，和的分布列分别为：12345，，即有．10．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第13题)一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则．【答案】【命题意图】本题考查二项分布概念及其数字特征，意在考查学生的运算求解能力． 【解析】随机变量，11．(2016高考数学四川理科·第12题)同时抛掷两枚质地均匀的两枚硬币，当至少一枚硬币正面向上时，就说明实验成功，则在次实验中成功次数的均值是______．【答案】【解析】法一：由题意可知每次实验成功的概率为，不成功的概率为，在次实验中成功次数可能的取值为则所以在次实验中成功次数的分别列为所以在次实验中成功次数的均值(即期望)为法二：次实验满足二项分分布，所以在次实验中成功次数的均值(即期望)为．二、多选题1．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第9题)下列统计量中，能度量样本的离散程度的是(　　)A．样本的标准差B．样本的中位数C．样本的极差D．样本的平均数【答案】AC解析:由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势,故选AC．2．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第12题)信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵．(　　)A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大 C．若，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)【答案】AC解析：对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确．对于B选项，若，则，，所以，当时，，当时，，两者相等，所以B选项错误．对于C选项，若，则，则随着增大而增大，所以C选项正确．对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且()．．由于，所以，所以，所以，