第二十八章锐角三角函数简介（人教版九下）

第二十八章“锐角三角函数”简介课程教材研究所本章在前面已经研究了直角三角形中三边之间的关系、两个锐角之间的关系的基础上，进一步研究其边角之间的关系．主要内容包括正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，以及运用锐角三角函数等知识解直角三角形等．本章内容与“相似三角形”“全等三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，相似三角形的性质是建立锐角三角函数概念的基础和关键，三角形全等的判定定理是解直角三角形的理论依据，解直角三角形时需要综合运用锐角三角函数、勾股定理等知识．通过本章的学习，使学生全面掌握直角三角形的组成要素（边、角）之间的关系，并综合运用已学知识解决与直角三角形有关的度量问题，进一步培养学生的推理能力，运算能力，数学建模能力，也为高中数学中任意角三角函数等知识的学习作准备．本章安排了两节，第一节的内容是第二节的基础，第二节的内容是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用；此外还安排了三个选学内容．全章教学时间约需1２课时，具体分配如下（仅供参考）：28.1   锐角三角函数 6课时28.2   解直角三角形及应用4课时数学活动2课时小结一、教科书内容和本章学习目标1.本章知识结构本章知识结构如下图所示：2.教科书内容第28.1节“锐角三角函数”8 中，教科书先研究锐角正弦的概念，然后在正弦概念的基础上给出锐角余弦、正切的概念．教科书安排了从特殊到一般给出锐角正弦概念的过程，聚焦锐角正弦概念的核心，即发现对于形状相同、大小不同的直角三角形，一个锐角的对边与斜边之比为定值的规律．具体地，先引导学生认识：无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是常数（）．接着，引导学生利用等腰三角形的性质和勾股定理，探究出无论直角三角形的大小如何，锐角所对的边与斜边的比也总是常数（）． 有了上述两个特例的铺垫，教科书自然地进入对一般情况的讨论：在直角三角形中，一个锐角取其他确定的度数时，它的对边与斜边的比是否也是常数．利用相似三角形对应边成比例的性质，得到一般结论：在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个定值．并由此引出正弦的概念．这样引出正弦的概念，能够使学生体会到当锐角的大小确定后相应边的比也随之确定，而且不同的角度对应不同的比值，即在直角三角形中，一个锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，这样既解决了正弦定义的“合理性”问题（专业术语为“好定义的──welldefined”），也渗透了函数的思想．在引出正弦的概念之后，教科书引导学生类比正弦的定义过程，自主探究直角三角形中，当一个锐角确定时，其他边之间的比的规律，并给出余弦、正切的概念．教科书还在旁白中分析了锐角三角函数的角与数值之间的对应关系，点出了函数的思想．一些特殊角的三角函数值是经常用到的，教科书借助于学生熟悉的两种三角尺研究了，，角的正弦、余弦和正切值，并以例题的形式介绍了由特殊锐角三角函数值求特殊锐角的问题．本节最后，教科书介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的锐角等内容．第28.2节“解直角三角形及应用”是在第一节“锐角三角函数”8 的基础上研究与直角三角形有关的度量问题．教科书首先解决章引言中的确定必比萨斜塔倾斜程度的问题，即已知直角三角形的斜边和一个锐角的对边，求出这个锐角；进而将其一般化并加以推广，给出解直角三角形的内涵，即它是由直角三角形中的已知元素（边、角），求出其余未知元素（边、角）的过程．接着，教科书引导学生全面梳理直角三角形中边角之间的关系，即反映三边关系的勾股定理，反映锐角之间关系的互余关系，以及反映边角之间关系的锐角三角函数，进而直接指出利用这些关系，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）就可以解直角三角形了，并以例题的形式进行对如何解直角三角形进行示范；而将解直角三角形的理论依据的讨论、解直角三角形的各类方法的梳理安排在本章小结中进行．最后，教科书安排了三个实际问题介绍解直角三角形的理论在实际中的应用，其解决过程均为先将实际问题抽象为数学问题──直角三角形中的度量问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案；在此基础上，教科书归纳出利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程．锐角三角函数是初中数学中的重要概念，它反映了直角三角形中锐角与两边比之间的关系，也是解直角三角形的基础；锐角三角函数定义的合理性，以及用含有几个字母的符号sinA，cosA，tanA表示函数等，学生过去没有接触过；其定义过程既体现了从特殊到一般的方法，同时又以理性思考为主，对学生来说也有一定难度．因此，锐角三角函数的概念既是本章的重点也是难点．解直角三角形彻底解决了直角三角形的有关度量问题，是初中数学中重要内容；同时解直角三角形具有较强的综合性，三角形全等的判定定理是解直角三角形的理论依据，解直角三角形时需要综合运用锐角三角函数、勾股定理等知识．解直角三角形也是本章的重点和难点．3．本章学习目标（1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），能够正确应用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边的比；记忆，，的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角．（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角．（3）理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题，体会数学在解决实际问题中的作用．二、编写时考虑的几个问题1.创设适当情境，引入核心内容“数学是自然的”，数学的发展来源于实际需要或数学内部的需要．为了体现本章核心知识的自然性以及学习它们必要性，本章注意从实际问题或数学问题出发，通过创设适当情境加以引入．例如，章引言从比萨斜塔纠偏的实际问题出发，研究用塔身中心线与垂直中心线所成的角来描述比萨斜塔的倾斜程度的问题，从数学角度看，这个问题就是：已知直角三角形的某些边长，求其锐角的度数，本质上就是要研究直角三角形中的边角之间的关系．进一步地，从数学的角度对于直角三角形的组成要素——8 边、角的关系加以梳理，我们已知道三边之间的关系──勾股定理，两个锐角之间的关系——它们互余，边角之间的关系──大边对大角、大角对大边，为了解决上述问题，需要进一步研究边角之间的关系，从而引出本章所要研究的主要内容，即通过引进锐角三角函数，建立直角三角形中边角之间的关系，并利用锐角三角函数等知识，解决包括上述问题在内的与直角三角形有关的度量问题．上述问题实际上是已知两边求锐角，这就是解直角三角形的内容，由此引出界直角三角形的内容．从什么角度研究直角三角形中边角之间的关系，以及建立边与角之间的何种关系，是引入锐角三角函数时的首要问题，也是关键环节．为此，教科书设置了修建扬水站时需要准备多长水管的实际问题，在解决这个实际问题的过程中，需要用到结论“在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半”，其等价形式为“在直角三角形中，角所对的边与斜边的比总是常数”，后者反映了直角三角形中锐角和该角的对边与斜边的比之间的对应关系；由此获得启示，建立直角三角形中边角之间的关系，可以通过研究锐角和它的对边与斜边的比之间的关系进行，从而引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式．通过从实际问题或数学问题出发，并运用数学的思维方式进行思考，引入本章的核心内容，使学生从中感悟研究数学、学习数学的重要方法，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，也积累了数学活动经验．2.注意加强知识间的联系锐角三角函数与相似三角形是密切联系的，相似三角形的性质是锐角三角函数概念的基础，只有利用“相似三角形的对应边成比例”才能得到锐角三角函数定义的合理性，教科书在给出锐角三角函数定义的过程中充分利用了这种联系性．例如，教科书在研究正弦函数的概念时，虽然由特殊直角三角形的性质得出结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于（或），那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于（或），但由相似三角形的知识可以得到一般性的方法．事实上，在直角三角形中，如果一个角等于（或），那么这样的直角三角形都相似，因此，不管这样的三角形的大小如何，它们的对应边成比例，从而（或8 ）角的对边与斜边的比值分别都是定值．对于一般的直角三角形，当一个锐角的度数一定时，那么这样的直角三角形都相似，因此，不管这样的三角形的大小如何，它们的对应边成比例，从而这个锐角的对边与斜边的比是一个固定值，并把该锐角的对边与斜边的比定义为这个锐角的正弦，它只与锐角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，因此锐角的正弦是“好定义的”（well-defined）．类似地，由相似三角形的知识可以得到其他锐角三角函数也是“好定义的”．直角三角形全等的判定定理是解直角三角形的理论依据，它对全面、深入地理解解直角三角形有着极其重要的作用．由直角三角形全等的判定定理可知，对于两个直角三角形，如果已知除直角外的两个元素对应相等（其中至少有一个是边），那么这两个直角三角形全等，从而一个直角三角形的大小由三边和两个锐角中的两个元素（其中至少有一个是边）唯一确定．因此从理论上说，就可以利用这两个元素求出其余的元素．有了锐角三角函数知识，并结合直角三角形的两个锐角互余及勾股定理，就可进一步地由这两个元素的大小求出其他元素的大小，这就是解直角三角形．可见，解直角三角形与直角三角形全等的判定定理、勾股定理等已学知识有着密切的联系．从联系的角度看待数学知识，对我们更深入地理解相关知识，提高综合应用能力等都很有帮助．加强数学知识之间的联系，对于养成良好的学习习惯，感悟数学学习、研究方法，培养分析和解决问题的能力，积累数学活动经验有着重要作用．教学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移．3.加强探究性，发展学生的思维能力本章编写时，对一些在重要知识点或关键点，继续保持原有的通过设置“思考”“讨论”“探究”“归纳”等栏目，提供学生探索交流的空间，发展学生的思维能力，并结合本章内容的特点，同时考虑到学生的年龄特征（学习本章内容的学生已经是九年级），对于本章的一些结论，教科书采用了先设置一些探究性活动栏目，然后直接给出结论的做法，而将数学结论的探索过程完全留给学生，以加大学生思维、探索的空间，不像前两个年级那样，将这些探究过程通过填空或留白等方式展示探索过程来引导学生进行探究．例如，教科书在详细研究了正弦函数，给出正弦函数的概念之后，通过一个“探究”栏目提出问题：在直角三角形中，当一个锐角确定时，它的对边与斜边的比随之确定．那么，此时其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？接着，教科书直接给出了余弦函数和正切函数的概念，而将“邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是确定的”这个结论的探究过程完全留给学生自己完成．再如，对于，，这几个特殊角的三角函数值，教科书也是首先设置一个“探究”8 栏目，在栏目中提出问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值分别是多少？”然后教科书用一个表格直接给出了这几个特殊角的三角函数值，而将求这些角的三角函数值的过程留给学生完成．再如，对于解直角三角形，教科书通过一个“探究”栏目提出问题：在直角三角形中，除直角以外的五个元素之间有哪些关系？知道五个元素中的几个，就可以求其他元素了？将这个栏目中真正需要探究的第二问的思考过程完全留给学生，而直接给出结论：利用边、角之间的相互关系，知道三边和两个锐角中的两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的元素（俗称“知二求三”）；进而给出“知二求三”解直角三角形的例题示范；并安排相当数量的“知二求三”解直角三角形的练习题和习题，使学生对“知二求三”的可行性以及具体求解方法有充分体验，获得较多的感性认识；最后在章小结中提出问题：“两个直角三角形全等，要具备什么条件？为什么已知一条边和一个锐角，或两条边，就能解这个直角三角形？你能根据不同的已知条件（例如，已知斜边和一个锐角），归纳相应的解直角三角形的方法吗”让学生进一步思考直角三角形中能“知二求三”的理论依据，并对“知二求三”的具体方法进行分类梳理，从而对解直角三角形的认识全面升华为理性的程度．这样的一种编写方式为学生提供了更加广阔的探索空间，能让学生独立思考，学会思考，有效改变学生的学习方式，进而发展学生的思维能力和创新意识．4.加强与实际的联系，体现建模思想锐角三角函数和解直角三角形是紧密联系的，锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强硬有力的工具，它与实际联系紧密．因此本章编写时，注意加强与实际的联系．例如，第28.1节利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引出正弦函数；第28.2节结合确定萨斜塔倾斜程度问题引出解直角三角形的概念和方法等．再如，教科书通过丰富有趣的具有实际背景的例题和习题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用．教科书这样将锐角三角函数和解直角三角形的内容与实际问题紧密联系，形成“你中有我，我中有你”8 的格局，一方面，可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需要；另一方面，也让学生看到它们在解决实际问题中所起的作用；再者，通过解决实际问题的过程：先把实际问题抽象出数学问题，再解决数学问题得到数学问题的答案，最后将数学问题的答案回到实际问题，使学生进一步体验数学模型思想和数学建模过程，培养应用意识，发展他们的数学抽象能力，以及分析问题、解决问题能力；同时，这样的处理方式也符合学生的认知规律，有利于调动学生学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能够激发学生的学习兴趣．三、对教学的几个建议1.加强锐角三角函数概念探究过程，揭示概念的内涵本章的一个重要教学目标是使学生探究并理解锐角三角函数的概念，教学中应按教科书提供的思路，让学生充分经历实际问题引入——研究特殊直角三角形——研究一般直角三角形——给出锐角正弦概念的定义过程，在探究直角三角形中锐角的对边与斜边的比值的不变性上下足功夫．这样的探究过程可以帮助学生理解锐角三角函数的内涵：锐角三角函数建立了直角三角形中边与角之间的关系，具体地，在直角三角形中，对于一个确定的锐角，它的正弦、余弦、正切分别表示这个锐角的对边与斜边之比、邻边与斜边之比、对边与邻边之比，它们分别都是确定的值．特别需要指出的是，在理解锐角三角函数的内涵时，要淡化其“函数味”，只要点出“对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数”即可．2．加强能力培养与训练应用锐角三角函数等有关知识解直角三角形及其相关的实际问题是锐角三角函数教学的核心任务，也是培养学生分析问题、解决问题能力的重要载体．解直角三角形时，需要根据已知条件的特点，选择恰当的锐角三角函数，并综合运用勾股定理等直角三角形的有关知识加以解决，具有一定的灵活性和综合性，初学阶段，学生往往不易找到解决问题的思路，特别是选不准具体的锐角三角函数，且易发生计算错；应用锐角三角函数等有关知识解决实际问题，对数学建模能力、推理能力、运算求解能力都有较高的要求．教学中，应注意让学生理解解直角三角形的基本原理；在此基础上，通过例题示范和必要的练习等形式使学生切实提高推理能力、运算能力、数学建模能力；但也要把握好度，控制好难度和广度，不能把锐角三角函数的教学变成题型教学．3.发挥计算器的作用本章教学中，应认真落实课程标准中“会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角”的要求，使学生掌握用计算器进行计算的技能．这样，一方面，可以使学生的学习重心更好地集中在理解锐角三角函数的概念、掌握解直角三角形的原理与方法以及建立实际问题的数学模型等核心内容上；另一方面，课程标准中“解直角三角形”“解决一些简单实际问题”的要求才能真正得到落实．8 4．注意数形结合锐角三角函数的一个突出特点是它的概念的产生和应用都与图形有着密切的联系．锐角三角函数具有鲜明的几何意义，其自变量是锐角，函数值是直角三角形中边长的比值，因此本章内容是体现数形结合的很理想的材料．例如，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识（在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质．再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决．因此在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论证、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，使画图成为教学中关注的目标．8