第十九章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程不等式课件（人教版八下）

19.2一次函数19.2.3一次函数与方程、不等式 新课导入数学知识之间是相互联系的，一次函数知识并不是孤立的，其实它与以前我们学过的有关知识有密切联系.今天我们来探讨一次函数与方程、不等式之间的联系. 学习目标(1)会从函数的角度看方程(组)解的意义.(2)会从函数的角度看不等式的解集的意义.(3)会将函数问题转化为解方程(组)或不等式(组)问题. 推进新课一次函数与一元一次方程知识点1这3个方程有什么共同点和不同点？例1 观察相同点：等号左边都是，不同点：等号右边分别是，，.2x+130-1你能从函数的角度对解这三个方程式进行解释吗？ 分析从函数的角度看，解这三个方程方程2x+1=3的解是：；即当时，函数y=2x+1的值为3，也就是；方程2x+1=-1的解是：；即当时，函数y=2x+1的值为-1，也就是.方程2x+1=0的解是：；即当时，函数y=2x+1的值为0，也就是；x=1x=-1x=1y=3x=y=0x=-1y=-1x=方程函数 发现从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3，0，-1时，求自变量x的值.函数图象如右图所示： 归纳因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时，求自变量x的值. 练习1.直线y=2x+b与x轴的交点坐标为(2，0)，则关于x的方程2x+b=0的解是x=.2 2.若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的面积是24，求常数k的值.解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y=0，得x=，令x=0，得y=6，∴A(，0)，B(0，6).∴S=∣OA∣▪∣OB∣=×∣∣×6=24∴∣k∣=∴k=± 一次函数与一元一次不等式知识点2例23x+2>23x+2<03x+2<-1这3个不等式有什么共同点和不同点？ 观察相同点：不等号左边都是，不同点：不等号右边分别是，，.3x+220-13x+2>23x+2<03x+2<-1你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？ 分析从函数的角度看，解这三个方程不等式3x+2>2的解是：；即当时，函数；不等式3x+2<-1的解是：；即当时，函数.不等式3x+2<0的解是：；即当时，函数；x>0y=3x+2>2x<x<y=3x+2<0x<-1y=3x+2<-1x>0x<-1①3x+2>2②3x+2<0③3x+2<-1不等式函数 发现从函数的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别满足大于2、小于0、小于-1的点时，求自变量x的取值范围.函数图象如右图所示：①3x+2>2②3x+2<0③3x+2<-1 归纳因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围. 练习在直角坐标系中，直线y=kx+3(k≠0)过点(2，2)，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+3≤0的解集.解：∵直线y=kx+3(k≠0)过点(2，2)，∴2k+3=2，解得k=.∴函数的解析式为y=x+3.∴当y=0时，x+3=0，解得x=6，则A(6，0)∴不等式kx+3≤0的解集为x≥6. 一次函数与二元一次方程组知识点3例31号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1小时. (1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔(单位：米)关于上升时间(单位：分钟)的函数关系；(1)气球上升时间满足.分析：1号气球的函数解析式为；2号气球的函数解析式为.0≤x≤60y=x+5y=0.5x+15 (2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度?如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？分析：(2)在某个时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.则只需求出x和y的值.容易想到解二元一次方程组： y=x+5，y=0.5x+15，即：x-y=-5，0.5x-y=-15，解得：x=20，y=25，这就是说，当上升20min时，两个气球都位于海拔25m的高度.函数表达式方程组 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为()的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解.y=kx+b一条直线 从“数”的角度看：解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看：解二元一次方程组，相当于确定两条直线的交点坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.发现 考虑下面两种移动电话计费方式：发现练习方式一方式二月租费/(元/月)300本地通话费/(元/min)0.300.40用函数方法解答何时两种计费方式费用相等. 解：设通话时间为x分，若按“方式一”计费方式，则收取费用y=30+0.3x；若按“方式二”计费方式收取费用，则收取费用y=0.4x.在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象，如下图： 得：x=300，y=120，解方程组：y=30+0.3x，y=0.4x，所以两图象交于点(300，120)，当x=300时，30+0.3x=0.4x，即当一个月内通话时间等于300分钟时，选择两种计费方式费用相等. 误区诊断已知直线y=-2x-1与直线y=3x+m相交于第三象限，求m得取值范围.误区不能正确理解图象导致错解不等式错解：∵直线y=-2x-1与直线y=3x+m相交于第三象限，∴直线y=3x+m经过第三象限，∴m<0. 正解：由题意得：∵交点在第三象限，∴y=-2x-1，y=3x+m，解得：x=，y=，<0，<0，解得：-1<m< 错因分析：两条直线相交于第三象限并不代表直线y=kx+b中的b<0.应先求出用含m的式子表示的交点坐标，再求m的取值范围. 随堂演练基础巩固1.已知直线y=ax-b的图象如图所示，则关于x的方程ax-b=0的解为x=，当x＝0时，y＝.2-1 2.如图是关于x的函数y=kx+b(k≠0)的图象，则不等式kx+b≤0的解集在数轴上可表示为()ABCDB 3.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示)，则所列的二元一次方程组是()x+y-2=0，3x-2y-1=0A.2x-y-1=0，3x-2y-1=0B.2x-y-1=0，3x+2y-5=0C.x+y-2=0，2x-y-1=0D.A 4.函数y=2x+6的图象如图，利用图象：(1)求方程2x+6=0的解；由图象可得：图象过点(-3，0).∴方程2x+6=0的解为x=-3；(2)求不等式2x+6>0的解集；由图象可得：当x＞-3时，函数y=2x+6的图象在x轴上方.∴不等式2x+6>0的解集为x＞-3； 4.函数y=2x+6的图象如图，利用图象：(3)若-1≤y≤3，求x的取值范围.由图象可得：函数图象过F(-1.5，3)，G(-3.5，-1)两点，当-3.5≤x≤-1.5时，函数y=2x+6的函数值满足-1≤y≤3，∴x的取值范围是-3.5≤x≤-1.5. 综合应用5.已知一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的图象(如图①).(1)方程kx+b=0的解为，不等式kx+b＜4的解集为；x=2x＞0 (3)在(2)的条件下，比较mx与kx+b的大小(直接写出结果).解：当x＜1时，kx+b＞mx；当x=1时，kx+b=mx；当x＞1时，kx+b＜mx.(2)正比例函数y=mx(m为常数，且m≠0)与一次函数y=kx+b相交于点P(如图②)，则不等式组的解集为；mx>0，kx+b>0，0＜x＜2 课堂小结一次函数与方程、不等式1.解一元一次方程：相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时，求自变量x的值.2.解一元一次不等式：相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围. 课堂小结一次函数与方程、不等式3.解二元一次方程组：从“数”的角度看相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看相当于确定两条直线的交点坐标. 请你根据图中图象所提供的信息解答下面问题：拓展延伸(1)分别写出a1、a2中变量y随x变化而变化的情况；a1：y随x的增大而增大；a2：y随x的增大而减小； (2)求出一个二元一次方程组，使它满足图象中的两条直线的位置.求满足图象中的两条直线的位置的一个二元一次方程组，即为求直线a1、a2的解析式. ∵a1过点P(1，1)和点(0，-1)，设直线a1的解析式为y=kx+b(k≠0).同理，a2的解析式为y=x+.k+b=1，b=-1，解得：k=2，b=-1，∴a1的解析式为y=2x-1.所求二元一次方程组为y=2x-1，y=x+.