四川省绵阳市绵阳实验高级中学2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

绵阳实验高中2022级高一上期期末线上模拟考试试题（数学）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得到，根据题意得到，再由集合交集的概念得到结果.【详解】由集合，解不等式得到：，又因为，根据集合交集的概念得到：，故D正确.故选：D.2.已知函数，其中，则（　　）A.2B.4C.6D.7【答案】D【解析】【分析】利用分段函数的意义求值.【详解】，其中，故选:D．3.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若角终边上一点的坐标为，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】计算得到，在根据三角函数定义计算得到答案.【详解】，即，则，.故.故选：A4.设正实数分别满足，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出图像，利用图像和图像交点的横坐标比较大小即可.【详解】由已知可得，，，作出的图像如图所示：它们与交点的横坐标分别为，由图像可得，故选：B5.函数的大致图象为（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再代入特殊值计算，即可判断选项.【详解】由题意得的定义域为R，，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B，D．又，排除选项C.故选：A．6.已知一扇形的周长为，则当该扇形的面积取得最大时，圆心角大小为（）A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据周长建立弧长与半径间的关系，由扇形面积公式可得,利用二次函数求最值,并求出S最大时对应的圆心角即可.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，所以，扇形面积，当时，有最大值，此时圆心角，故选：D7.对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】参变分离可得对恒成立，令，则，根据二次函数的性质求出的最大值，即可求出参数的取值范围.【详解】解：因为，不等式恒成立，所以对恒成立，令，则，，所以，所以当时取得最大值，即当时取得最大值，即，所以.故选：D8.已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，结合零点的意义求出的零点，数形结合求出方程有三个根的a的取值范围作答.【详解】由得：或，因函数，由解得，因此函数有四个不同的零点，当且仅当方程有三个不同的根， 函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，方程有3个不同的根，当且仅当直线与函数的图象有3个公共点，观察图象知，当或，即或时，直线与函数的图象有3个公共点，所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在下列命题中，正确的是（）A.若函数是定义在区间[a-2，b]上的偶函数，则b=2B.若函数满足，则C.“方程有两个不相等的正实数根”的充要条件是“”D.已知命题p：“，都有”，则命题p的否定：“，都有”【答案】ABC【解析】【分析】 根据二次函数的对称轴及区间对称可得判断A；由可判断B，由判别式及韦达定理可判断C，由全称命题的否定为特称命题可判断D.【详解】对于A，若函数是定义在区间[a-2，b]上的偶函数，则，解得，所以A正确；对于B，函数满足，则，解得所以B正确；对于C，方程有两个不相等的正实数根，则，解得，所以C正确；对于D，命题p：“，都有”，则命题p的否定：“，都有”，所以D不正确.故选：ABC.10.以下命题正确的是（）A.,使B.若函数在上单调递增,则正实数的取值范围是C.若函数的定义域为,则函数的定义域为D.函数单调递增区间为【答案】BD【解析】【分析】关于A,构造,判断单调性及函数在的范围,即可判断正误,关于B,分段函数单调性 需要每一段单调及断点处依旧满足单调,列出等式解出范围,即可判断正误,关于C,的定义域也即是的范围,解出解集即可判断正误,关于D,复合函数单调性问题遵循同增异减,判断内外函数单调性即可判断正误.【详解】解:由题知,关于选项A,不妨令,单调递减,,,即,,,故选项A错误;关于选项B,在上单调递增,,解得,故选项B正确;关于选项C,的定义域为,则的定义域为,解得,故选项C错误;关于选项D为复合函数,单调递减,在上单调递减,单调递增, 在上单调递增,单调递减,故选项D正确.故选:BD11.下列结论不正确的是（    ）A.当时,B.当时,的最小值是C.当时,的最小值是D.设,,且,则的最小值是【答案】BC【解析】【分析】关于选项A,直接利用基本不等式即可判断正误;关于选项B,先将表示为,再用基本不等式,注意取等条件即可判断正误;关于选项C,当时,,所以不能直接用基本不等式,举出反例即可;关于选项D,先将用把代换掉,即得,再用“1”的代换即可求出最值,注意等号取得的条件.【详解】解:由题知,关于选项A,当时, ,,当且仅当时取等号,故选项A正确;关于选项B,当时,, 当且仅当时取等号, 但此时无解,等号取不到,因此最小值不是,故选项B错误;关于选项C,因为,不妨取,此时的值为负数,故选项C错误;关于选项D,因为,,,则,则当且仅当,即时取等号,故最小值为,故选项D正确.故选:BC.12.函数，则下列命题正确的是（）A.函数为偶函数B.函数的最小值为0C.方程有3个不同的实数根D.函数在区间上单调递增【答案】BCD【解析】 【分析】由函数图像结合奇偶性、最值、单调性、函数的零点的性质逐一判断即可.【详解】该函数的图像如下图所示：由图可知，该函数图像不关于轴对称，故A错误；函数的最小值为0，故B正确；函数与函数有三个不同的交点，即方程有3个不同的实数根，故C正确；函数在区间上单调递增，故D正确；故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置．13.计算__________．【答案】##【解析】【分析】利用指数、对数运算及诱导公式，特殊角的三角函数值计算作答.【详解】.故答案为：14.已知，则_________．【答案】1【解析】【分析】先利用诱导公式化简，然后再代值计算即可 【详解】因为，所以，故答案为：115.若函数（，）的图象经过定点，则函数的单调增区间为____________.【答案】【解析】【分析】根据指数的运算性质，结合对数型函数单调性的性质进行求解即可.【详解】令，得，此时，故定点，则，，，令，时，为减函数，又为减函数，由得，故定义域：，故所求增区间为.故答案为:.16.已知函数为定义在R上的奇函数，满足对，其中，都有，且，则不等式的解集为___________.【答案】 【解析】【分析】根据题意构造，判定函数的单调性和奇偶性，利用赋值法得到，再通过单调性和奇偶性求得不等式的解集.【详解】因为，所以当时，，令，则在上单调递增，又因为为定义在R上的奇函数,所以是偶函数，且在上单调递减，因为，所以，等价于或，所以或，即不等式的解集为.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，，（1）求和；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式，以及指数不等式求得，再结合集合的运算，即可求得结果；（2）根据集合之间的包含关系，列出关于的不等关系，即可求得结果.【小问1详解】 ，；故，.【小问2详解】因为，故可得是集合的子集；若，即时，，满足题意；若，即时，则需满足，解得；综上所述，.18.已知函数．（1）若关于x的不等式的解集为，求，的值；（2）当时，解关于x的不等式．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式解法可知2，3为方程的两个根，然后利用韦达定理求解即可；（2）化简，讨论a的取值分别求解不等式即可．【小问1详解】由条件知，关于x的方程的两个根为2和3，所以，解得．【小问2详解】当时，，即，当时，即时，解得或；当时，即时，解得； 当时，即时，解得或．综上可知，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．19.已知，为第二象限角.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用同角三角函数的关系化简，则由，可得，而，代值计算即可，（2）由已恬条件可得，然后利用诱导公式和同角三角函数的关系化简计算即可.【小问1详解】为第二象限角，则..∵，∴.∴.【小问2详解】 ，则.∵为第二象限角，∴，，.∴.20.设幂函数在单调递增，（1）求的解析式；（2）设不等式的解集为函数的定义域，记的最小值为，求的解析式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义形式和单调性，即可得到解析式；（2）解出不等式，得到函数定义域，则题目转化为求含参二次函数在定区间上的最小值，分类比较对称轴和区间的关系，即可求得的解析式.【小问1详解】∵是幂函数且在单调递增， ∴，解得，∴.小问2详解】即，解得，∴的定义域为.则，当，即时，；当，即时，；当，即时，.所以，.21.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元【解析】【分析】（1）利用，即可求解； （2）对进行化简，得到，然后，分类讨论和时，的取值，进而得到答案.【小问1详解】根据题意，，化简得，【小问2详解】由（1）得当时，当时，当且仅当时，即时等号成立.因为，所以当时，.故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元.22.已知函数是定义在上的奇函数．（1）判断并证明函数的单调性；（2）是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是上的增函数，证明见解析（2）存在；【解析】【分析】(1)先利用奇函数的性质求出字母，再根据函数单调性定义取证明即可；(2)先假设存在，利用第一问函数单调性结论得出两个等式，再结合两个等式的特点转化为一个方程，使用换元法可得一个一元二次方程两个不等正根的问题，结合一元二次方程根与系数关系即可求解.【小问1详解】，所以是上的增函数，证明如下：设，，，∴，，，，∴是上的单调增函数．【小问2详解】假设存在实数，使之满足题意．由（1）可得函数在上单调递增，∴，∴∴，为方程的两个根，即方程有两个不等的实根．令，即方程有两个不等的正根． ，∴故存在，实数的取值范围为：