22.1.4 第1课时 二次函数y=ax² bx c的图象和性质课件

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第二十二章二次函数第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 y=a(x-h)2+ka＞0a＜0开口方向顶点坐标对称轴增减性最值向上向下(h，k)(h，k)x=hx=h当x＜h时，y随着x的增大而减小；当x＞h时y随着x的增大而增大.当x＜h时，y随着x的增大而增大；当x＞h时，y随着x的增大而减小.x=h时，y最小值=kx=h时，y最大值=k抛物线y=a(x-h)2+k可以由抛物线y=ax2经过平移得到 顶点坐标对称轴最值y=-2x2y=-2x2-5y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4y=(x-4)2+3y=-x2+2xy=3x2+x-6(0，0)y轴0(0，-5)y轴-5(-2，0)直线x=-20(-2，-4)直线x=-2-4(4，3)直线x=43?????? 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x−h)2+k合作探究问题怎样将化成y=a(x−h)2+k的形式？(1)x2−12x+36=(x____)2；填一填(2)x2−12x=(x____)2−____.−636−6 (1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.想一想：配方的方法及步骤是什么？提示：配方后的解析式通常称为顶点式. 我们如何用配方法将二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？y=ax²+bx+c 将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．(1)y=x2-2x+1；(2)y=2x2-4x+6．练一练解：(1)y=x2−2x+1=(x−1)2，顶点坐标为(1，0).(2)y=2x2−4x+6=2(x−1)2+4，顶点坐标为(1，4). 合作探究我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来研究的图象和性质？将配成顶点式，得二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 问题1你能说出的对称轴及顶点坐标吗？答：对称轴是直线x=6，顶点坐标是(6，3).问题2抛物线可以看作是由怎样平移得到的？答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到. 问题3如何用描点法画二次函数的图象？…………9876543x解：先利用图形的对称性列表；7.553.533.557.5510xy510然后描点画图，得到图象如右图.O 问题4结合二次函数的图象，说出其增减性.510xy510x=6当x＜6时，y随x的增大而减小；当x＞6时，y随x的增大而增大.O 因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是对称轴是直线，.要点归纳二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即. 如果a＜0，当x＜时，y随x的增大而增大；当x＞时，y随x的增大而减小.如果a＞0，当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大.(1)(2)xyOxyO x···−4−3−2−1012···y······−15−513典例精析1−5−15例1画出函数的图象，并说明这个函数具有哪些性质.解：将函数配方，得先列表： 2xy-2O4-2-4-4-6-8然后描点、连线，得到图象如下图.由图象可知，这个函数具有如下性质：当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞-1时，函数值y随x的增大而减小；当x=-1时，函数取得最大值，最大值为3. 练一练已知二次函数y＝x2﹣6x+5．（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式；（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小．解：（1）y＝x2﹣6x+5＝(x﹣3)2﹣4.（2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是(3，-4). b3___0k3___0问题1一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：合作探究xyOy=k1x+b1xyOy=k3x+b3y=k2x+b2k1___0b1___0k2___0b2___0＜＞＞＜＞＞二次函数的图象与系数的关系 xyO问题2二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：a1___0b1___0c1___0a2___0b2___0c2___0＞＞＞＞＜＝开口向上，a＞0对称轴在y轴左侧，对称轴在y轴右侧，x=0时，y=c. 对称轴在y轴右侧，xyOa3___0b3___0c3___0a4___0b4___0c4___0＜＝＞＜＞＜开口向下，a＜0对称轴是y轴，x=0时，y=c. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系字母符号图象的特征a＞0开口___________a＜0开口___________b=0对称轴为_____轴a、b同号对称轴在y轴的____侧a、b异号对称轴在y轴的____侧c=0经过原点c＞0与y轴交于_____半轴c＜0与y轴交于_____半轴向上向下y左右正负 例2已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x=>－1可得2a－b＜0，故②正确； 则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，所以(a＋c)2＜b2，故④正确．综上所述，①②③④都正确.故选D.由图象上横坐标为－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上横坐标为1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为－1的点在第二象限得a－b＋c＞0，③4a－2b＋c＜0④(a＋c)2＜b2 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴B.直线x=C.直线x=2D.直线x=则该二次函数图象的对称轴为()D 由于当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线的对称轴应在直线x=1处或其左侧.解析：∵二次项系数－1＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为2.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是()A.b≥－1B.b≤－1C.b≥1D.b≤1DxyOb1∴b≤1.如图所示.故选D. Oyx–1–233.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=-1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的是.x=1（2） 4.已知抛物线y=2x2-12x+13.（1）当x为何值时，y有最小值？最小值是多少？（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？（3）将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式.解：∵y=2x2−12x+13=2(x−3)2−5，∴抛物线开口向上，顶点为(3，−5)，对称轴为直线x=3.（1）当x=3时，y有最小值，最小值为−5.（2）当x＜3时，y随x的增大而减小.（3）新抛物线的解析式为y=2(x−5)2−3． 5.已知二次函数y=x2−4x−1．(1)将函数y=x2−4x−1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象的顶点B的坐标；解：y=x2−4x−1=(x−2)2−5，该函数图象的顶点B的坐标为(2，−5). (2)在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x2−4x−1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积．解：如图，令x=0，则y=−1，∴OC=1.∵B(2，−5)，∴OA=2，AB=5.∴S四边形OABC= 顶点：对称轴：y=ax2+bx+c(a≠0)(一般式)配方法公式法(顶点式)