22.1.4 第1课时 二次函数y=ax² bx c的图象和性质导学案

第二十二章二次函数22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质学习目标：1.会用配方法或公式法将二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0).2.会熟练求出抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标、对称轴.重点：能够熟练地求出二次函数一般式y=ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.难点：会用配方法或公式法将一般式y=ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0).自主学习一、知识链接 课堂探究二、要点探究探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k问题怎样将化成y=a(x－h)2+k的形式？填一填（1）x2-12x+36=(x____)2;（2）x2-12x=(x____)2−____.想一想（1）请将化成y=a(x－h)2+k的形式，并说一说配方的方法及步骤；（2）如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x－h)2+k？练一练将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．（1）y=x2-2x+1；（2）y=2x2-4x+6．探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质合作探究我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来研究的图象和性质？问题1你能说出的对称轴和顶点坐标吗？问题2抛物线可以看作是由怎样平移得到的？问题3如何用描点法画二次函数的图象？问题4结合二次函数的图象，说出其增减性. 要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即y=ax2+bx+c=______________;因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是：______________;对称轴是：直线______________.如果a>0，当x<_______时，y随x的增大而减小；当x>_______时，y随x的增大而增大.如果a<0，当x<________时，y随x的增大而增大；当x>_______时，y随x的增大而减小.典例精析例1画出函数的图象，并说明这个函数具有哪些性质.练一练已知二次函数y＝x2-6x+5．（1）将y＝x2-6x+5化成y=a(x-h)2+k的形式；（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？探究点3：二次函数图象与系数的关系问题1一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空.k10，b10；k20，b20；k30，b30.问题2二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空.a10，b10，c10；a20，b20，c20；a30，b30，c30；a40，b40，c40. 例2已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是(　　)A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4三、课堂小结二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质顶点式配方法或公式法→顶点坐标：对称轴：图象与a、b、c的关系a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；b=0，对称轴为y轴；a、b同号，对称轴在y轴的左侧，a、b异号，对称轴在y轴的右侧；c=0，图象经过原点；c＞0，与y轴交于正半轴，c＜0，与y轴交于负半轴.当堂检测1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x、y的部分对应值如下表：x－10123y51－1－11则该二次函数图象的对称轴为()A.y轴B.直线x=C.直线x=2D.直线x= 2.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A．b≥－1B．b≤－1C．b≥1D．b≤13.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：(1)a、b同号；(2)当x=－1和x=3时，函数值相等；(3)4a+b=0；(4)当y=－2时，x的值只能取0；其中正确的是.4.已知抛物线y=2x2-12x+13.（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（2）当x为何值时，y随x的增大而减小？（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的解析式.5.已知二次函数y=x2-4x-1．（1）将函数y=x2-4x-1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象顶点B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x2-4x-1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积．参考答案自主学习知识链接 课堂探究二、要点探究探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k填一填(1)-6(2)-6-36想一想（1）配方的步骤如下：(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.（2）y=ax²+bx+c=练一练解：(1)y=x2-2x+1=(x-1)2，顶点坐标为(1，0)；(2)y=2x2-4x+6=2(x-1)2+4，顶点坐标为(1，4).探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质问题1答：对称轴是直线x=6，顶点坐标是（6，3）.问题2答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位长度得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位长度得到的.问题3列表如下：x…3456789……7.553.533.557.5…然后描点画图，得到图象如图①所示.图①图②问题4当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大. 要点归纳：典例精析例1解：函数y=-2x2-4x+1通过配方可得y=-2(x+1)2+3.列表如下：x…-4-3-2-1012…y…-15-5131-5-15…然后描点、连线，得到图象如图②所示.由图象可知，这个函数具有如下性质：当x＜-1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞-1时，函数值y随x的增大而减小；当x=-1时，函数取得最大值，最大值y=3.练一练解：（1）y＝x2-6x+5＝(x-3)2-4；（2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，-4）；（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小．探究点3：二次函数字母系数与图象的关系问题1＜＞＞＜＞＞问题2＞＞＞＞＜=＜=＞＜＞＜例2D【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．当堂检测1.D2.D3.（2）4.解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-2x+9)-5=2(x-3)2-5，∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3.（1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5；（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；（3）新抛物线的解析式为y=2(x-5)2-3．5.解：（1）y=x2-4x-1=(x-2)2-5，该函数图象顶点B的坐标为（2，-5）.(2)如图，令x=0，则y=−1，∴OC=1.∵B(2，−5)，∴OA=2，AB=5.