21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件

21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 韦达，1540年出生于法国的波亚图，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.历史上流传着一个有关韦达的趣事:有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外22个正数解(他舍弃了另外22个负数解).消息传开，数学界为之震惊.同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来.他发现了方程根与系数的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”).情景引入 复习引入(1)x2+3x-4=0；(2)x2-5x+6=0；(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两根x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1-3-456将二次项系数化为1想一想方程的两根x1和x2与系数a，b，c有什么关系？算一算解下列方程并完成填空：x1+x2=？x1·x2=？ （1）一元二次方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？若将此方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜重要发现方程x2+px+q=0的两根x1，x2满足上面两个关系式(x-x1)(x-x2)=0x2-(x1+x2)x+x1·x2=0x2+px+q=0x1+x2=-p，x1·x2=q 猜一猜（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么，你可以发现什么结论？ 证一证：注：b2-4ac≥0↗ 一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么注意满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系的应用例1利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2–6x–15=0；解：a=1，b=–6，c=–15.Δ=b2-4ac=(–6)2–4×1×(–15)=96>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=–(–6)=6，x1x2=-15. （2）3x2+7x-9=0；x1+x2=−，x1x2=解：a=3，b=7，c=-9.Δ=b2−4ac=72–4×3×(−9)=157>0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么 （3）5x–1=4x2.解：方程可化为4x2–5x+1=0.a=4，b=–5，c=1.Δ=b2−4ac=(–5)2–4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判断是否Δ≥0，如是则代入a、b、c的值即可.归纳 例2已知关于x的方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两根分别是x1，x2，其中x1=2.所以x1·x2=2x2=，即x2=由于x1+x2=2+=，解得k=-7.答：方程的另一个根是，k的值为-7. 变式：已知关于x的方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两根分别是x1，x2，其中x1=1.所以x1+x2=1+x2=6，即x2=5.由于x1·x2=1×5=，解得m=15.答：方程的另一个根是5，m的值为15. 例3不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知 设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则(1)x1+x2=；(2)x1·x2=；(3)；(4).411412练一练求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.归纳 常见的求值式子如下： 例4设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得Δ=4(k-1)2-4k2≥0，即-8k+4≥0.由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1)，x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4=4.解得k1=0，k2=4.∵，∴k=0. 根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0.归纳 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则p=，q=.1-21.如果-1是方程2x2-x+m=0的一个根，那么另一个根是，m=____.___-3 3.已知关于x的方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中，得3-19+m=0.解得m=16.设另一个根为x1，则1·x1=∴x1= 4.已知x1，x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4.（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系，得∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得k=-7.(2)∵k=-7，∴则 5.设x1，x2是方程3x2+4x-3=0的两个根.利用根与系数之间的关系，求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1)；(2)解：由根与系数的关系，得（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=（2） 6.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根之差为1？解：设方程两根分别为x1，x2(x1>x2)，则x1-x2=1.由方程有两个实数根，得Δ=k2-8≥0，即k2≥8.∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，拓展提升由根与系数的关系，得 7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两根x1，x2满足|x1-x2|=1，求m的值.解：（1）∵方程有实数根，∴Δ=(-2m)2-4m(m-2)=4m2-4m2+8m=8m≥0.∵m≠0∴m的取值范围是m＞0.（2）由根与系数的关系得解得m=8，符合题意.∵|x1-x2|=1， 一元二次方程的根与系数的关系内容如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1，x2，那么应用……