21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系导学案

第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.自主学习一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0；(2)x2－5x+6=0；(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程两根x1+x2=？x1·x2=？x1x2x2+3x－4=0x2－5x+6=02x2+3x+1=0想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？ 课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程(x－x1)(x－x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？若将此方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1+x2=x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么，.(前提条件是b2－4ac≥0)探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用典例精析例1利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.(1)x2–6x–15=0；(2)3x2+7x－9=0；(3)5x–1=4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入a、b、c的值即可.例2已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.变式题已知关于x的方程3x2－18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.例3不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和. 练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1)，(2)，(3)，(4).归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下：例4设x1，x2是方程x2－2(k－1)x+k2=0的两个实数根，且4，求k的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0.三、课堂小结根与系数的关系的内容如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么，.根与系数的关系的应用...... 当堂检测1.如果－1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是，m=.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p=，q=.3.已知关于x的方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.4.已知x1，x2是方程2x2+2kx+k－1=0的两个根，且(x1+1)(x2+1)=4.(1)求k的值；(2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3=0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1)(x1+1)(x2+1)；(2)拓展提升6.当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-x2|=1求m的值. 参考答案自主学习一、知识链接1.当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为.2.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根.想一想一元二次方程两根x1+x2=？x1·x2=？x1x2x2+3x－4=0-41-3-4x2－5x+6=023562x2+3x+1=0-1课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜1.(x－x1)(x－x2)=x2－(x1+x2)x+x1x2=0,x1+x2=－p，x1x2=q.2.x1+x2=，x1x2=.证一证：（注：b2－4ac≥0）探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用典例精析例1解：（1）a=1,b=–6,c=–15.Δ=b2–4ac=(–6)2–4×1×(–15)=96>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=–(–6)=6，x1x2=–15.（2）a=3,b=7,c=–9.Δ=b2-4ac=72–4×3×(-9)=157>0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.（3）方程可化为4x2–5x+1=0，a=4，b=–5，c=1.Δ=b2-4ac=(–5)2–4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=例2解：设方程的两个根分别是x1，x2，其中x1=2.所以x1x2=2x2=即x2= 由于x1+x2=2+=得k=－7.答：方程的另一个根是k=－7.变式题解：设方程的两个根分别是x1，x2，，其中x1=1.所以x1+x2=1+x2=6，即x2=5.由于x1·x2=1×5=得m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.例3解：根据根与系数的关系可知：∵∴练一练（1）4（2）1（3）14（4）12例4解：由方程有两个实数根，得Δ=4(k-1)2-4k2≥0，即-8k+4≥0.k≤由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由4，得2k2-8k+4=4，解得k1=0，k2=4.∵k≤，所以k=0.当堂检测1.；-3.2.1；-2.3.解：将x=1代入方程中3-19+m=0.解得m=16.设另一个根为x1，则4.解：(1)根据根与系数的关系得所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得k=-7；(2)因为k=-7,所以则5.解：根据根与系数的关系得（1）(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=（2）拓展提升 6.解：设方程两根分别为x1，x2（x1＞x2），则x1-x2=1.由方程有两个实数根，得Δ=k2-8≥0，即k2≥8由根与系数的关系，得7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2）=4m2-4m2+8m=8m≥0.∵m≠0，∴m的取值范围为m＞0.（2）∵方程有实数根x1，x2，解得m=8.经检验，m=8是方程的解.