第一章直角三角形的边角关系第五节三角函数的应用课时练习（北师大版九下）

第五节三角函数的应用一、单选题（共15题）1．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（　　）A．米B．米C．米D．米答案：D解析：解答：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，∴在直角△CPD中，DP=DC•cot30°=2m，PC=CD÷（sin30°）=4米，∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，∴△PDC∽△PBO，∴，∴PB=米，∴BC=PB-PC=米．故选：D．分析:出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC，再相减即可求得BC长2.如图，为安全起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D、B、C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是（　　）15 A．2B．C．D．答案：C解析：解答:假设AC=x，∴BC=x，∵滑梯AB的长为3m，∴2x2=9，解得：x=∵∠D=30°，∴2AC=AD，∴AD=3故选C．分析:根据∠ABC=∠BAC=45°，AB=3，求出AC的长，再利用在直角三角形中30°所对的边是斜边的一半求出即可。3.如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（　　）A．B．C．6cos50°D．答案：D解析：解答:∵BC=6米，∠ACB=50°，∴cos50°=，∴AC=（米）；故选D．15 分析:此题考查了解直角三角形，解决此类问题的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决4.如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（　　）A．100米B．50米C．米D．50米答案:C解析：解答:过B作BM⊥AD，∵∠BAD=30°，∠BCD=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=CB=100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC=90°，∴∠CBM=30°，∴CM=BC=50米，∴BM=CM=50米，故选：B．分析:过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案5.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（　　）A．5米B．6米C．8米D．（3+）米答案:A15 解析：解答:设CD=x，则AD=2x，由勾股定理可得，AC=＝x，∵AC=3米，∴x=3，∴x=3米，∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，BD==8米，∴BC=8-3=5米．故选A．分析:设CD=x，则AD=2x，根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾股定理求出BD的长，即可求出BC的长6.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　）A．5mB．mC．4mD．2m答案:D解析：解答:∵AB=10米，tanA=∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2∴AC=4，BC=2米．故选D．分析:可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长7.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，如果顾客乘地铁从点B到点C上升的高度为5m，则电梯BC的长是（　　）15 A．5cmB．5cmC．10mD．m答案:C解析：解答：如图所示：过点C作CE⊥AB延长线于点E，∵∠ABC=150°，∴∠CBE=30°，∵从点B到点C上升的高度为5m，∴电梯BC的长是10m．故选：C．分析:根据直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而得出即可8.一斜坡长为米，高度为1米，那么坡比为（　　）A．1：3B．1：C．1：D．1：答案:A解析：解答:∵一斜坡长为米，高度为1米，∴坡的水平宽度为：3m，∴坡比为：故选：A．分析:直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，进而得出答案9.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（　　）15 A．56米B．66米C．（56+20）米D．（50+20）米答案:C解析：解答:作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，在Rt△ABE中，∵∴AE=50米，在Rt△CFD中，∵∠D=30°，∴DF=CFcot∠D=20米，∴AD=AE+EF+FD=50+6+20=（56+20）米．故选C．分析:过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可10.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．求放水后水面上升的高度是（　　）A．0.55B．0.8C．0.6D．0.75答案:D解析：解答:如图；过点E作EM⊥GH于点M，15 ∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=×（GH-EF）=×（2.1-1.2）=0.45，∵斜坡AD的坡度为1：0.6，∴EM：GM=1：0.6，∴EM：0.45=1：0.6，∴EM=0.75，故选：D．分析:先过点E作EM⊥GH于点M，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM，再根据斜坡AD的坡度为1：0.6，得出EM：GM=1：0.6，最后代入计算即可11.如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（　　）A．12mB．3mC．4mD．12m答案:C解析：解答:如图，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=6m，∴AB=（m）．故选C．分析:AB是Rt△ABC的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB的长．12.如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为（　　）m．15 A．10B．8C．6D．6答案:A解析：解答:∵天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，∴sinC=，则解得：AC=10，则坡面AC的长度为10m．故选：A．分析:此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键13.拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=10m，则坡面AB的长度是（　　）A．15mB．20mC．10mD．20m答案:D解析：解答：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：∴AC=BC÷tanA=10m，∴AB==20m．故选：D．分析:在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．14.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（　　）15 A．26米B．28米C．30米D．46米答案:D解析：解答：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选：D．分析:根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．15.身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300m，250m，200m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（　　）A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高答案:D解析：解答：甲放的高度为：300×sin30°=150米．乙放的高度为：250×sin45°=125≈176.75米．丙放的高度为：200×sin60°=100≈173.2米．所以乙的最高．故选D．分析:利用所给角的正弦值求出每个小朋友放的风筝高度，比较即可二、填空题（共5题）16.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB=2000米，则他实际上升了_____________米．答案:100015 解析：解答:过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，∵AB=2000米，∠A=30°，∴BC=ABsin30°=2000×=1000．故答案为：1000分析:过点B作BC⊥水平面于点C，在Rt△ABC中，根据AB=2000米，∠A=30°，求出BC的长度即可17.如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是_________米（结果保留根号）答案:解析：解答:如图，Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AC=6，∴BC=AC•tanA=6×=2．根据勾股定理，得：AB==即斜坡上相邻两树间的坡面距离是米．分析：在由每两棵树构建的直角三角形中，已知了水平宽为6米，根据坡度可求出坡面的铅直高度，进而可根据勾股定理求得坡面长，即相邻两树间的坡面距离．18.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：则AB的长为_______答案:12米解析：解答:∵Rt△ABC中，BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：∴BC：AC=1：∴AC=•BC=6（米），15 ∴AB=故答案为12米．分析:在Rt△ABC中，根据坡面AB的坡比以及BC的值，求出AC的值，再通过解直角三角形即可求出斜面AB的长19.如图，当小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际上升高度AC=_________米．（可以用根号表示）答案：解析：解答：∵坡度i=1：5，∴AC与BC的比为1：5，设AC为x，则BC为5x，∴x2+（5x）2=262，∵x＞0，∴x=故答案为：分析:由坡度易得AC与BC的比为1：5，设出相应未知数，利用勾股定理可得AC的长度．20.如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线．已知∠ABC=135°，BC的长约是6m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是_________．答案：6m解析：解答：作CF⊥AB的延长线于F，∵∠ABC=135°，∴∠CBF=180°-135°=45°，15 ∴CF=BC•sin45°=6×=6．故答案为6．分析:作CF⊥AB的延长线于F，求出∠CBF=45°，然后利用三角函数求出CF的长即可．三、解答题（共5题）21.两棵树种在倾角为24°36′的斜坡上，它们的坡面距离是4米，求它们之间的水平距离（可用计算器计算，精确到0.1米）答案：3.6米．解析：解答:由题意得cos24°36′=0.909，解得：水平距离≈3.6米．故答案为：3.6．分析:倾角为24°36′，即坡角为24°36′，利用余弦关系可求出它们之间的水平距离．22.如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：2，求坡角α的正弦值sinα答案:解析：解答：过A作AC⊥BC于C，∵AB的坡度i=1：3，∴tanα=设AC=x，BC=3x，根据勾股定理可得：AB=则sinα=AC故答案为：分析：本题考查了坡度坡角的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用及坡角的定义23.如图，如果某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，求该斜坡的坡比15 答案：解析：解答：【解答】解：∵某个斜坡AB的长度为10米，且该斜坡最高点A到地面BC的铅垂高度为8米，∴水平距离BC==6（m），则该斜坡的坡比是：故答案为：分析:直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，进而得出答案．24.如图，斜坡AC的坡度（坡高比水平距离）为1：，AC=10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米．求旗杆BC的高度答案：6米解析：解答：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．15 在Rt△AEC中，AC=10，由坡度为1：，可知：∠CAE=30°，∴CE=AC•sin30°=10×=5，AE=AC•cos30°=10×=5在Rt△ABE中，BE=∵BE=BC+CE，∴BC=BE-CE=11-5=6（米）．答：旗杆的高度为6米．故答案为6米．分析:如果延长BC交AD于E点，则CE⊥AD，要求旗杆BC的高度，就要知道BE和CE的高度，就要先求出AE的长度．直角三角形ACE中有坡度，由AC的长，那么就可求出AE的长，然后求出BE、CE的高度，根据BC=BE-CE，即可得出结果25.小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，求他下降的高度答案：50米解析：解答：坡比为1：2.4，∴BC：AC=1：2.4，设BC=x，AC=2.4x，则AB=∵AB=130米，∴x=50，则BC=x=50（米）．15 故答案为：50．分析:根据斜坡的坡比为1：2.4，可得BC：AC=1：2.4，设BC=x，AC=2.4x，根据勾股定理求出AB，然后根据题意可知AB=130米，求出x的值，继而可求得BC的值．15