北师大版九下数学第一章直角三角形的边角关系小结与复习课件

小结与复习第一章直角三角形的边角关系 一、锐角三角函数1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．(1)∠A的正弦：sinA＝＝；(2)∠A的余弦：cosA＝＝；(3)∠A的正切：tanA＝＝. 2.梯子的倾斜程度与tanA、sinA和cosA的关系：tanA的值越大，梯子越陡;sinA的值越大，梯子越陡;cosA的值越小，梯子越陡.3.锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而_______；余弦值随着角度的增大（或减小）而_______.增大（或减小）减小（或增大） 30°，45°，60°角的三角函数值锐角α三角函数30°45°60°sinαcosαtanα二、特殊角的三角函数 1.解直角三角形的依据(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．三边关系：；三角关系：；边角关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝.a2＋b2＝c2∠A＝90°－∠B三、解直角三角形 (2)直角三角形可解的条件和解法条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． 1.利用计算器求三角函数值．第二步：输入角度值，屏幕显示结果.（有的计算器是先输入角度再按函数名称键）第一步：按计算器、、键，sintancos四、锐角三角函数的计算 2.利用计算器求锐角的度数．还可以利用键，进一步得到角的度数.第二步：然后输入函数值屏幕显示答案（按实际需要进行精确）°＇″第一步：按计算器、、键，sincostanSHIFT 1.仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.五、三角函数的应用 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角,叫做方向角.如图所示：30°45°BOA东西北南2.方向角45°45°西南O东北东西北南西北东南 αlhh:l（1）坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.（2）坡度（或坡比）坡度通常写成1∶m的形式，如1∶6.如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），即—.hl（3）坡度与坡角的关系坡度等于坡角的正切值坡面水平面3.坡角 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案． (2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；ACMN(1)在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；E(3)量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度.MN=ME+EN=l·tanα+aα1.测量底部可以到达的物体的高度步骤：六、利用三角函数测高 2.测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ACBDMNEαβ (1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；(3)量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度. 考点一求三角函数的值例1在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝(　　)A.　　B.　　C.　D.【解析】根据sinA＝，可设三角形的两边长分别为4k，5k，则第三边长为3k，所以tanB＝B 针对训练1.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正弦值是________. 2.用计算器求下列各式的值：（1）cos63°17′≈______；（2）tan27.35°≈______；（3）sin39°57′6″≈______．0.450.520.643.已知sinα=0.2，cosβ=0.8，则α+β=________（精确到1′）．48°24′ 考点二特殊角的三角函数值【解析】本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值．解：原式＝例2计算 (1)tan30°＋cos45°＋tan60°(2)tan30°·tan60°＋cos230°4.计算：针对训练解：原式解：原式 考点三解直角三角形例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=，求：(1)DC的长；(2)sinB的值．【分析】题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在Rt△ACD和Rt△ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD，由此可列方程求出CD．ABCD 解:(1)设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC=,又BC－CD＝BD，解得x=6，∴CD=6.ABCD (2)BC=BD+CD=4+6=10=AD在Rt△ACD中在Rt△ABC中ABCD 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC的周长(结果保留根号).针对训练 解：在Rt△ADC中，∴BD＝2AD＝4.∴BC＝BD＋DC＝5.在Rt△ABC中，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC 考点四三角函数的应用例4如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB的高度．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达EF，又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼AB的高度．【分析】设CF与AB交于点G，在Rt△AFG中，用AG表示出FG，在Rt△ACG中，用AG表示出CG，然后根据CG－FG＝40，可求AG.G 解：设CF与AB交于点G，在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，∴FG＝在Rt△ACG中，tan∠ACG＝，又CG－FG＝40，∴AG＝，∴AB＝答：这幢教学楼AB的高度为∴G 6.如图,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离（即CE的长）为8米，测得旗杆顶的仰角∠ECA为30°，旗杆底部的俯角∠ECB为45°，则旗杆AB的高度是多少米?CABDE解：如图在Rt△ACE和Rt△BCE中∠ACE=30°，EC=8米，∴tan∠ACE=,tan∠ECB=即：AE=8tan30°=（米），EB=8tan45°=8（米）.∴AB=AE+EB=(8+)米.针对训练 锐角三角函数特殊角的三角函数解直角三角形简单实际问题cabABC 见教材章末练习