第一章直角三角形的边角关系第四节解直角三角形课时练习（北师大版九下）

第四节解直角三角形一、单选题（共15题）1．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为（　　）A．7B．8C．8或17D．7或17答案：D解析：解答：∵cos∠B=，∴∠B=45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB=12，∠B=45°，∴AD=BD=12，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD-CD=12-5=7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12=5=17，故选D．分析:首先根据特殊角的三角函数值求得∠B的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD和CD的长后即可求得线段BC的长2.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（　　）A．B．C．D．16 答案：D解析：解答:如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=x，DE=x，∴AE=x，∴tan∠CAD=故选D．分析:本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中3.等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（　　）A．60°B．90°C．120°D．150°答案：A解析：解答:16 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥CB于D，依题意得CD：AD=1：=:3而tan∠DAC=CD：AD，∴tan∠DAC=:3∴∠DAC=30°，∴顶角∠BAC=60°．故选A．分析:本题利用了等腰三角形的性质和锐角三角函数的概念解决问题4.△ABC中，∠B=90°，AC=，tan∠C=，则BC边的长为（　　）A．2B．2C．D．4答案:B解析：解答:∵∠B=90°，∴tan∠C==，设AB=x，则BC=2x，∴AC==x，∴x=，解得x=1，∴BC=2x=2．故选B．分析:本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形5.在△ABC中，AB=5，BC=6，∠B为锐角且sinB=，则∠C的正弦值等于（　　）A．B．C．D．答案:C16 解析：解答:过点A作AD⊥BC∵sinB=，∴=，∵AB=5，∴AD=3，∴BD==4，∵BC=6，∴CD=2，∴AC==∴sinC=故选C．分析:过点A作AD⊥BC，根据三角函数的定义得出AD的长，再求得BD、CD，根据勾股定理得出AC，再由三角函数的定义得出答案即可6.在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，若BC：AC=3：4，BD平分∠ABC交AC于点D，则tan∠DBC的值为（　　）A．B．C．D．答案:B解析：解答:作DE⊥AB于E，在Rt△ABC中，设BC为3x，则AC为4x，根据勾股定理，AB=5x，设CD为a，16 BD平分∠ABC，则DE=CD=a，AD=4x-a，AE=5x-3x=2x，在Rt△ADE中，AD2=DE2+AE2，即（4x-a）2=a2+（2x）2，解得，a=x，tan∠DBC=故选：B．分析:解直角三角形中的勾股定理等知识解答．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AB=c，∠A=α，则CD长为（　　）A．c•sin2αB．c•cos2αC．c•sinα•tanαD．c•sinα•cosα答案:D解析：解答：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，∠A=a根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案，sinα=，BC=c•sinα，∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，∴∠DCB=∠A=α在Rt△DCB中，∠CDB=90°，cos∠DCB=，CD=BC•cosα=c•sinα•cosα，故选：D．分析:根据已知条件在Rt△ABC中，用AB和α表示BC，在Rt△DCB中，根据余弦求出CD的长，得到答案8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinB=，则AC等于（　　）16 A．3B．9C．4D．12答案:B解析：解答:∵sinB=∴AC=×15=9．故选B．分析:直接根据正弦的定义求解9.在锐角△ABC中，cosA=，cosB=，BC=13，则△ABC的面积为（　　）A．B．30C．78D．答案:D解析：解答:∵cosA=，cosB=，∴sinA=，sinB=∴sinC=sin（A+B）=sinA•cosB+sinB•cosA=，∵∴，c=，∴△ABC的面积为acsinB=×13××=故选：D．分析:此题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、正弦定理、同角三角函数的关系、三角形的面积公式，熟练掌握公式是关键．10.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB=AC=40，则△ABC的面积是（　　）A．800B．800C．400D．400答案:D16 解析：解答:如图所示，过C作CD⊥AB，∵在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB=，∴∠A=∠B=30°，∴BC=AC，∴D为AB中点，在Rt△ACD中，AC=40，∴CD=AC=20，根据勾股定理得：AD==20，∴AB=2AD=40则△ABC的面积是AB•CD=400故选D分析:如图所示，过C作CD⊥AB，根据题意，利用锐角三角函数定义求出∠A与∠B的度数，利用等角对等边得到AC=BC，利用三线合一得到D为AB中点，在直角三角形ACD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长，利用勾股定理求出AD的长，确定出AB的长，求出三角形ABC面积即可11.数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，尺寸如图．如果两个三角形的面积分别记作S△ABC、S△DEF，那么它们的大小关系是（　　）A.S△ABC＞S△DEFB．S△ABC＜S△DEFC．S△ABC=S△DEFD．不能确定答案:C解析：解答:如图，过点A、D分别作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，16 在Rt△ABG中，AG=ABsinB=5×sin50°=5sin50°，在Rt△DHE中，∠DEH=180°-130°=50°，DH=DEsin∠DEH=5sin50°，∴AG=DH．∵BC=4，EF=4，∴S△ABC=S△DEF．故选C．分析:在两个图形中分别作BC、EF边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可12.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（　　）A．1，2，3B．1，1，C．1，1，D．1，2，答案:D解析：解答:A.∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B.∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C.底边上的高是，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D.解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．分析:考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念13.在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（　　）A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°答案:D解析：解答：∠B=90°-∠A=90°-40°=50°，16 又∵tanB=，∴AC=BC•tanB=3tan50°．故选：D．分析:利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解14.等腰三角形的底边长10m，周长为36cm，则底角的正弦值为（　　）A．B．C．D．答案:D解析：解答：AB=AC，BC=10cm，AB+BC+AC=36cm，则AB=AC=13cm，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD=BC=5，在Rt△ABD中，∵AB=13，BD=5，∴AD==12，∴tanB==故选D．分析:本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质15.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=，则AD的长为（　　）16 A．2B．4C．D．答案:A解析：解答：在等腰Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，∴BC=AC=6．在Rt△DBC中，∵∠C=90°，∴tan∠DBC=∴DC=BC=4，∴AD=AC-DC=6-4=2．故选A．分析:先由等腰直角三角形的性质得出BC=AC=6，再解Rt△DBC，求出DC的长，然后根据AD=AC-DC即可求解．二、填空题（共5题）16.已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于____________答案:解析：解答:作CH⊥AE于H，∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=（180°-30°）=75°，∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，∵∠ACB=∠CAD+∠E，∴∠E=75°-30°=45°，在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，∴CH=AC=4，AH=，∴DH=AD-AH=8-4在Rt△CEH中，∵∠E=45°，∴EH=CH=4，∴DE=EH-DH=4-（8-4）=4-4．16 故答案为分析:本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质17.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是________答案:4.8解析：解答:设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x-2，因为AE⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=于是＝，解得x=10，即AB=10．所以易求BE=8，AE=6，当EP⊥AB时，PE取得最小值．故由三角形面积公式有：AB•PE=BE•AE，求得PE的最小值为4.8．故答案为4.8．分析：本题考查了余弦函数在直角三角形中的运用、三角形面积的计算和最小值的求值问题，求PE的值是解题的关键18.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sinA=，则菱形ABCD的周长是___________答案:40解析：解答:已知如图DE⊥AB，垂足是E，所以△AED为直角三角形，16 则得：sinA=，即：=∴AD=10，∴菱形ABCD的周长为：10×4=40．故答案为：40．分析:此题考查的知识点是解直角三角形和菱形的性质，解题的关键是先根据直角三角形的性质求出菱形ABCD的边长AD19.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为________答案：2解析：解答：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=∴AD=×=2．故答案为2．16 分析:本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质20.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为________答案：解析：解答：∵AC=∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为×1=故答案为：分析:重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长AB，再求出面积三、解答题（共5题）21.若等腰三角形两边为4，10，求底角的正弦值答案：解析：解答:∵4+4=8＜10，16 ∴AB=AC=10，BC=4．过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC=BC=2．∵AB=AC=10，∴AD=∴sin∠ABD=故答案为分析:根据三角形三边关系定理确定腰和底边的长．作底边上的高，利用三角函数的定义求解22.如图，在△ABC中，AC=2，∠A=45°，tanB=，求BC的长答案:解析：解答：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵AC=2，∠A=45°，∴CD=AC•sin∠A=2•sin45°=2×=∵tanB=，∴BD=CDtanB=16 ∴BC=故答案为分析：过点C作CD⊥AB于D，利用∠A的正弦值求出CD，再根据∠B的正切值求出BD，利用勾股定理列式求出BC的长23.在△ABC中，若AB=AC=5，BC=8，求sinB的值答案：解析：解答：作AD⊥BC于D，如图BD=BC=4，由勾股定理，得AD==3．由正弦函数，得sinB==故答案为：分析:根据勾股定理，可得AD的长，根据正弦函数等于对边比斜边，可得答案24.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，求该三角形的面积答案：2或1解析：解答：当顶角为x+45°时，则x+x+x+45°=180°，解得x=45°，所以此三角形为等腰直角三角形，此三角形的面积=×2×2=2；当顶点为x时，则x+x+45°+x+45°=180°，解得x=30°，所以此三角形为顶点为30度的等腰三角形，AB=AC=2，∠A=30°，作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠A=30°，∴CD=AC=1，16 ∴三角形ABC的面积=CD•AB=×1×2=1，综上所述，该三角形的面积等于1或2．故答案为1或2．分析:本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质25.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=12，求AC的长答案：5解析：解答：在△ABC中，∠C=90°，∵sinA==，BC=12，∴AB=13，∴AC==5．故答案为5．分析:本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形16