第二章二次函数习题（北师大版九下）

二次函数　一、选择题1．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（　　）A．2xy+x2=1B．y2﹣ax+2=0C．y+x2﹣2=0D．x2﹣y2+4=02．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（　　）A．y=x2B．y=C．y=D．y=3．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（　　）A．4B．8C．﹣4D．164．若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c（　　）A．开口向上，对称轴是y轴B．开口向下，对称轴是y轴C．开口向下，对称轴平行于y轴D．开口向上，对称轴平行于y轴5．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（　　）A．B．C．D．15 6．已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（　　）A．2，4B．﹣2，﹣4C．2，﹣4D．﹣2，07．对于函数y=﹣x2+2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（　　）A．x＞﹣1B．x≥0C．x≤0D．x＜﹣18．抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴（　　）A．一定有两个交点B．只有一个交点C．有两个或一个交点D．没有交点9．二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，则m的值为（　　）A．3B．﹣3C．3或﹣3D．以上都不对10．对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（　　）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（﹣1，3）D．（1，3）　二、填空题11．抛物线y=﹣2x+x2+7的开口向______，对称轴是______，顶点是______．12．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m=______．13．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是______．14．对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是______．15．已知二次函数y=x2﹣6x+n的最小值为1，那么n的值是______．16．抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是______．17．设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______．18．设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是______．19．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为______．20．已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得△ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是______．　15 三、解答题21．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．22．把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a，b，c的值．23．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．24．对于抛物线y=x2+bx+c，给出以下陈述：①它的对称轴为x=2；②它与x轴有两个交点为A、B；③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）．求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值范围．25．分别写出函数y=x2+ax+3（﹣1≤x≤1）在常数a满足下列条件时的最小值：（l）0＜a＜；（2）a＞2.3．（提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a的代数式表示）26．已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，（1）如图甲：在OA上选取一点D，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD所在直线的解析式；（2）如图乙：在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G．①求折痕AF所在直线的解析式；②再作GH∥AB交AF于点H，若抛物线过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数．15 （3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上．将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证．　《第22章二次函数》参考答案　一、选择题1．在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（　　）A．2xy+x2=1B．y2﹣ax+2=0C．y+x2﹣2=0D．x2﹣y2+4=0【解答】解：A、2xy+x2=1当x≠0时，可化为y=的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；B、y2﹣ax+2=0可化为y2=ax﹣2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；C、y+x2﹣2=0可化为y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确；D、x2﹣y2+4=0可化为y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误．故选C．　2．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（　　）15 A．y=x2B．y=C．y=D．y=【解答】解：作出BC边上的高AD．∵△ABC是等边三角形，边长为x，∴CD=x，∴高为h=x，∴y=x×h=x2．故选：D．　3．已知抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（　　）A．4B．8C．﹣4D．16【解答】解：根据题意，得=0，解得c=16．故选D．　4．若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c（　　）A．开口向上，对称轴是y轴B．开口向下，对称轴是y轴C．开口向下，对称轴平行于y轴D．开口向上，对称轴平行于y轴【解答】解：∵直线y=ax+b不经过二、四象限，∴a＞0，b=0，则抛物线y=ax2+bx+c开口方向向上，对称轴x==0．故选A．　5．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（　　）15 A．B．C．D．【解答】解：A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误；B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，b＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＜0，错误；C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，对称轴x=﹣＜0，正确．D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误；故选C．　6．已知抛物线y=﹣x2+mx+n的顶点坐标是（﹣1，﹣3），则m和n的值分别是（　　）A．2，4B．﹣2，﹣4C．2，﹣4D．﹣2，0【解答】解：根据顶点坐标公式，得15 横坐标为：=﹣1，解得m=﹣2；纵坐标为：=﹣3，解得n=﹣4．故选B．　7．对于函数y=﹣x2+2x﹣2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（　　）A．x＞﹣1B．x≥0C．x≤0D．x＜﹣1【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，a=﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，∴当x≤1时，y随x的增大而增大，故只有选项C，D这两个范围符合要求，又因为C选项范围包括选项D的范围，故选：C．　8．抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴（　　）A．一定有两个交点B．只有一个交点C．有两个或一个交点D．没有交点【解答】解：根据题意，得△=b2﹣4ac=＜﹣（m+2）＞2﹣4×1×3（m﹣1）=（m﹣4）2（1）当m=4时，△=0，即与x轴有一个交点；（2）当m≠4时，△＞0，即与x轴有两个交点；所以，原函数与x轴有一个交点或两个交点，故选C．　9．二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，则m的值为（　　）A．3B．﹣3C．3或﹣3D．以上都不对【解答】解：∵二次函数y=2x2+mx﹣5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣2×（﹣）=，解得：m=±3，15 故选：C．　10．对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（　　）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（﹣1，3）D．（1，3）【解答】解：把y=x2+（2﹣t）x+t变形得到（1﹣x）t=y﹣x2﹣2x，∵对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，∴1﹣x=0且y﹣x2﹣2x=0，∴x=1，y=3，即这个固定的点的坐标为（1，3）．故选D．　二、填空题11．抛物线y=﹣2x+x2+7的开口向　上　，对称轴是　x=1　，顶点是　（1，6）　．【解答】解：∵y=x2﹣2x+7=（x﹣1）2+6，∴二次项系数a=1＞0，抛物线开口向上，顶点坐标为（1，6），对称轴为直线x=1．故答案为：上，x=1，（1，6）．　12．若二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，则m=　2　．【解答】解：由于二次函数y=mx2﹣3x+2m﹣m2的图象经过原点，代入（0，0）得：2m﹣m2=0，解得：m=2，m=0；又∵m≠0，∴m=2．故答案为：2．　13．如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是　y=2（x+1）2+3　．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，﹣1），向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；15 可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．　14．对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是　﹣　．【解答】解：当x=1时，y=ax2=a；当x=2时，y=ax2=4a，所以a﹣4a=4，解得a=﹣．故答案为：﹣．　15．已知二次函数y=x2﹣6x+n的最小值为1，那么n的值是　10　．【解答】解：原式可化为：y=（x﹣3）2﹣9+n，∵函数的最小值是1，∴﹣9+n=1，n=10．故答案为：10．　16．抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是　4　．【解答】解：设抛物线与x轴的交点为：（x1，0），（x2，0），∵x1+x2=2，x1•x2=﹣3，∴|x1﹣x2|===4，∴抛物线在y=x2﹣2x﹣3在x轴上截得的线段长度是4．故答案为：4．　17．设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是　S=﹣x2+3x　，自变量x的取值范围是　0＜x＜3　．【解答】解：由题意可得：S=x（3﹣x）=﹣x2+3x．自变量x的取值范围是：0＜x＜3．故答案为：S=﹣x2+3x，0＜x＜3．　15 18．设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x2﹣2x﹣5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是　5　．【解答】解：令x=0，则y=﹣5，即A（0，﹣5）；设B（b，0），C（c，0）．令y=0，则x2﹣2x﹣5=0，则b+c=2，bc=﹣5，则|b﹣c|===2，则△ABC的面积是×5×=5．故答案为5．　19．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为　y=﹣x2﹣x+　．【解答】解：设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3）代入得，解得．所以此抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+，故答案为：y=﹣x2﹣x+．　20．已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得△ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是　y=﹣x2+3　．【解答】解：如图所示：当抛物线过点A（﹣3，0），B（3，0），C（0，3），则设抛物线解析式为：y=ax2+3，故0=9a+3，解得：a=﹣，15 即抛物线解析式为：y=﹣x2+3．故答案为：y=﹣x2+3．　三、解答题21．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．【解答】解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．　22．把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合．请求出a，b，c的值．【解答】解：将y=2x2+4x+1整理得y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1．因为抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移1个单位得y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1，所以将y=2x2+4x+1=2（x+1）2﹣1向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得y=ax2+bx+c，故y=ax2+bx+c=2（x+1﹣2）﹣1+1=2（x﹣1）=2x2﹣4x+2，所以a=2，b=﹣4，c=2．　23．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．15 （1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．【解答】解：（1）由图象可知：a＜0图象过点（0，1），所以c=1，图象过点（1，0），则a+b+1=0当x=﹣1时，应有y＞0，则a﹣b+1＞0将a+b+1=0代入，可得a+（a+1）+1＞0，解得a＞﹣1所以，实数a的取值范围为﹣1＜a＜0；（2）此时函数y=ax2﹣（a+1）x+1，M点纵坐标为：=，图象与x轴交点坐标为：ax2﹣（a+1）x+1=0，解得；x1=1，x2=，则AC=1﹣=，要使S△AMC=××==S△ABC=•可求得a=．　24．对于抛物线y=x2+bx+c，给出以下陈述：15 ①它的对称轴为x=2；②它与x轴有两个交点为A、B；③△APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）．求①、②、③得以同时成立时，常数b、c的取值范围．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c=（x+）2+，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，∴﹣=2，则b=﹣4，∴P点的纵坐标是=c﹣4，又∵它与x轴有两个交点为A、B，∴△=b2﹣4ac=16﹣4c＞0，且AB===2解得c＜4，①又△APB的面积不小于27，∴×2×|c﹣16|≥27，即×|c﹣16|≥27②由①②解得c≤﹣5．综上所述，b的值是﹣4，c的取值范围是c≤﹣5．　25．分别写出函数y=x2+ax+3（﹣1≤x≤1）在常数a满足下列条件时的最小值：（l）0＜a＜；（2）a＞2.3．（提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a的代数式表示）【解答】解：对称轴x=﹣=﹣，（1）当0＜a＜时，即﹣＜﹣＜0，当x=﹣时有最小值，最小值y=（﹣）2+a×（﹣）+3=3，（2）当a＞2.3．即﹣＜﹣1.1，在﹣1≤x≤1范围内，y随x的增大而增大，当x=﹣1时，y最小，最小值y=（﹣1）2+a×（﹣1）+3=4﹣a．　26．已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，15 （1）如图甲：在OA上选取一点D，将△COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E．求折痕CD所在直线的解析式；（2）如图乙：在OC上选取一点F，将△AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G．①求折痕AF所在直线的解析式；②再作GH∥AB交AF于点H，若抛物线过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数．（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K．请你猜想：①折痕IJ所在直线与第（2）题②中的抛物线会有几个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上．将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证．【解答】解：（1）由折法知：四边形ODEC是正方形，∴OD=OC=6，∴D（6，0），C（0，6），设直线CD的解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线CD的解析式为y=﹣x+6．（2）①在直角△ABG中，因AG=AO=10，故BG==8，∴CG=2，设OF=m，则FG=m，CF=6﹣m，在直角△CFG中，m2=（6﹣m）2+22，解得m=，15 则F（0，），设直线AF为y=k′x+，将A（10，0）代入，得k′=﹣，∴AF所在直线的解析式为：y=﹣x+．②∵GH∥AB，且G（2，6），可设H（2，yF），由于H在直线AF上，∴把H（2，yF）代入直线AF：yF=﹣×2+=，∴H（2，），又∵H在抛物线上，=﹣×22+h，解得h=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3，将直线y=﹣x+，代入到抛物线y=﹣x2+3，得﹣x2+x﹣=0，∵△=﹣4×（﹣）×（﹣）=0，∴直线AF与抛物线只有一个公共点．（3）可以猜想以下两个结论：①折痕IJ所在直线与抛物线y=﹣x2+3只有一个公共点；②经过K作KL∥AB与IJ相交于L，则点L一定在抛物线y=﹣x2+3上．验证①，在图甲的特殊情况中，I即为D，J即为C，G即为E，K也是E，KL即为ED，L就是D，将折痕CD：y=﹣x+6代入y=﹣x2+3中，得﹣x2+x﹣3=0，∵△=1﹣4×（﹣）×（﹣3）=0，∴折痕CD所在的直线与抛物线y=﹣x2+3只有一个公共点．验证②，在图甲的特殊情况中，I就是C，J就是D，那么L就是D（6，0），当x=6时，y=﹣×62+3=0，∴点L在这条抛物线上．15