第二章二次函数强化训练（北师大版九下）

二次函数基础训练1．已知一个函数图象经过(1，－4)，(2，－2)两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是(D)A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数2．设二次函数y1＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，x1≠x2)的图象与一次函数y2＝dx＋e(d≠0)的图象交于点(x1，0)，若函数y＝y2＋y1的图象与x轴仅有一个交点，则(B)A.a(x1－x2)＝d　　　　B.a(x2－x1)＝dC.a(x1－x2)2＝d　　　D.a(x1＋x2)2＝d3．当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则x＝m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为__3__．(第4题图)4．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为__1__．5．对于两个二次函数y1，y2，满足y1＋y2＝2x2＋2x＋8.当x＝m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3.请写出两个符合题意的二次函数y2的表达式y2＝x2＋3，y2＝(x＋)2＋3(要求：写出的表达式的对称轴不能相同)．6．抛物线y＝2x2－4x＋3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的表达式是y＝－2x2－4x－3．(第7题图)7．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(2，0)．若抛物线y＝x2＋k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是－2＜k＜．解：由图可知，∠AOB＝45°，∴直线OA的表达式为y＝x，联立消掉y，得x2－2x＋2k＝0，Δ＝(－2)2－4×1×2k＝0，4 即k＝时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1.∵点B的坐标为(2，0)，∴OA＝OB＝2，∴点A的坐标为(，)，∴交点在线段OA上．当抛物线经过点B(2，0)时，×4＋k＝0，解得k＝－2，∴要使抛物线y＝x2＋k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是－2＜k＜.8．某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69m的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3m的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：(第8题图)请根据上面的信息，解决问题：(1)设AB＝x(m)(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长；(2)请你判断谁的说法正确，为什么？解：(1)AB＝x(m)，可得BC＝69＋3－2x＝(72－2x)(m)．(2)小英说法正确，理由如下：矩形面积S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648，∵72－2x＞0，∴x＜36，∴0＜x＜36，∴当x＝18时，S取最大值，此时x≠72－2x，∴面积最大的不是正方形．9．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．(1)求y与x满足的函数表达式(不要求写出x的取值范围)．(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润p最大？解：(1)设y与x满足的函数表达式为y＝kx＋b.由题意，得解得故y与x满足的函数表达式为y＝－3x＋108.(2)每天获得的利润为p＝(－3x＋108)(x－20)＝－3x2＋168x－2160＝－3(x－28)2＋192.故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．4 拓展提高10．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为__22__元时，该服装店平均每天的销售利润最大．11．如图，已知直线y＝－x＋3分别交x轴，y轴于点A，B，P是抛物线y＝－x2＋2x＋5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y＝－x＋3于点Q，则当PQ＝BQ时，a的值是－1，4，4＋2，4－2．(第11题图)(第12题图)12．如图，抛物线y＝－x2－2x＋3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求A，B，C三点的坐标．(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A，B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连结DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝2DQ，求点F的坐标．解：(1)由抛物线y＝－x2－2x＋3可知点C(0，3)，令y＝0，则0＝－x2－2x＋3，解得x＝－3或x＝1，∴点A(－3，0)，B(1，0)．(2)由抛物线y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4可知，对称轴为直线x＝－1，设点M的横坐标为m，则PM＝－m2－2m＋3，MN＝(－m－1)×2＝－2m－2，∴矩形PMNQ的周长＝2(PM＋MN)＝2(－m2－2m＋3－2m－2)＝－2m2－8m＋2＝－2(m＋2)2＋10，∴当m＝－2时矩形的周长最大．∵点A(－3，0)，C(0，3)，可求得直线AC的函数表达式为y＝x＋3，当x＝－2时，y＝－2＋3＝1，则点E(－2，1)，∴EM＝1，AM＝1，4 ∴S＝AM·EM＝.(3)∵点M的横坐标为－2，抛物线的对称轴为x＝－1，∴点N应与原点重合，点Q与点C重合，∴DQ＝DC，把x＝－1代入y＝－x2－2x＋3，得y＝4，∴点D(－1，4)．∴DQ＝DC＝.∵FG＝2DQ，∴FG＝4，设点F(n，－n2－2n＋3)，则点G(n，n＋3)，∵点G在点F的上方，∴(n＋3)－(－n2－2n＋3)＝4，解得n＝－4或n＝1.∴点F(－4，－5)或(1，0)．(第13题图)13．如图，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1，3)处．(1)求原抛物线的函数表达式．(2)学校举行班徽设计比赛，九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少(参考数据：≈2.236，≈2.449，结果可保留根号)．解：(1)∵点P与点P′(1，3)关于x轴对称，∴点P的坐标为(1，－3)．设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋3，∵其过点A(1－，0)，∴0＝a(1－－1)2－3，解得a＝1.∴抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2－3，即y＝x2－2x－2.(2)∵CD∥x轴，P′(1，3)在CD上，∴C，D两点纵坐标均为3.由(x－1)2－3＝3，解得x1＝1－，x2＝1＋，∴C，D两点的坐标分别为(1－，3)，(1＋，3)，∴CD＝2.∴“W”图案的高与宽(CD)的比＝＝(或约等于0.6124)．4