第三章图形的平移与旋转知识点（北师大版八下）

3.1生活中的平移一、新知要点(1)平移的概念（2）平移的特点(3)平移的基本性质火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿着一条直线运动的，那么在运动的过程中这些物体的形状、大小、位置等因素中,哪些没有发生改变?哪些发生了变化?这种运动就叫做什么？1.图形的平移例1:下图中的图形A向右平移了6格得到图形A′A′A(1)平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。（2）平移的特点：①平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点。经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。例2、观察下图△ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△CDF。找出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形。21 (3)平移的基本性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。二、新知巩固（练习）1.平移改变的是图形的（）A位置B大小C形状D位置、大小和形状2.经过平移，对应点所连的线段（）A平行B相等C平行且相等D既不平行,又不相等3.经过平移,图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离,下面说法正确的是（）A不同的点移动的距离不同B既可能相同也可能不同C不同的点移动的距离相同D无法确定4.如图，四边形ABCD平移后得到四边形EFGH，填空（1）CD=______，（2）∠F＝______（3）HE=，（4）∠D=_____，（5）DH=_________。5.如图，若线段CD是由线段AB平移而得到的，则线段CD、AB关系是__________.6.试着做一做：（1）把图形向右平移7格后得到（2）把图形向左平移5格后到的图形涂上颜色。的图形涂上颜色。（3）画出小船向右平移6格后的图形(4)画出向右平移6格后的图形21 三、归纳小结●通过本节课的学习，我们明白了什么叫平移。（在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。）●总结出了平移的性质。（平移不改变图形的形状和大小。经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。）四、课外作业：1.将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（）A3cmB23cmC20cmD17cm2.关于平移的说法，下列正确的是（）A经过平移对应线段相等；B经过平移对应角可能会改变C经过平移对应点所连的线段不相等；D经过平移图形会改变、3.把可以平移到黑色位置的涂上颜色。4.把图中的三角形ABC（可记为△ABC）向右平移６个格子，画出所得的△。§3.2简单的平移作图一、知识回顾1.平移的概念2.平移的性质二、新知要点1.平移图形的规律，作图的顺序；2.平行线的作法及对应点的连结；3.平移三要素：原图形位置，平移方向，平移距离。例1：观察理解平移后的图形。21  例2：把图中的三角形ABC（可记为△ABC）向右平移8个格子，画出所得的△。度量△ABC与△的边，角的大小，你发现什么呢？解：（1）、经过平移的图形与原来的图形的对应线段，对应角，图形的形状和大小都。（2）、平移的对应点所连线段。（3）、其中BC与B′C′的关系是（位置关系和数量关系）。线段AB与A′B′的关系是（位置关系和数量关系）。若AC=5，则A′C′=，若∠BAC=60°，则∠B′A′C′=。若△ABC周长为30，则△A′B′C′周长为。若△ABC面积为S，则△A′B′C′面积为。例3：画出平移后的图形。21 通过操作我们发现：1．在方格纸上平移图形时，把一个图形向某个方向平移几格，不是指原图形和平移后得到的新图形两个图形之间的空格有几格，而是指原图形的每个顶点都向这一方向平移了几格。2．在方格纸上平移图形时，可以把这个图形的各个顶点按指定的方向平移到新位置，先分别描出各点，再把各点按原来的顺序连接起来，成为按要求平移后得到的新图形。3．用平移的方式画一排或一列图形时，可以在第一个图形的底部或左右画一条横线或竖线，以这条横线或竖线为基准，画出的图形就是平移得到的。4．平移图形或物体时，可以一次平移，也可以两次平移，物体的方向都不会改变。例4：如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。分析：因为A与D是对应点，而平移的对应点的连线段平行且相等所以平移方向——射线AD，平移距离——线段AD的长，作法：1.分别过点B、C沿AD方向作线段BE、CF，使它们与AD平行且相等2.顺次连结D、E、F则△DEF即为所求。参考图一、新知巩固1.分别画出将□向下平移4格，向左平移8格后得到的图形。21 分析：要分别画出将□向下平移4格、向左平移8格后得到的图形，先要分别描出□四个顶点向下平移4格、向左平移8格后的新位置上的四个顶点，再把四个顶点顺次连接起来，就得到符合题意要求的图形。2.画出花瓶向上平移4格后的图形，再3.画出三角形向右平移6格后的图形，画出它继续向左平移7格后的图形。再画出梯形向下平移5格后的图形一、归纳小结●通过本节课的学习我们学会了平移作图。●确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离。五、课外作业1.下列说法正确的是（）A由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等B我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方向的平移”C小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升，他高兴地对同伴说：“太棒了，我现在比大楼还高呢，我长高了！”D在图形平移过程中，图形上可能会有不动点2.画画做做想想（1）移6格后得到的涂上颜色。21 （2）分别画出将向下平移5格、向右平移10格后得到的图形。（3）画出小旗向右平移3格再向下（4）分别画出将图形向上平移3格、平移2格后的图形向左平移8格后得到的图形。3.如图，已知△ABC，画出△ABC沿PQ方向平移2cm后的△A′B′C′．4.二年级同学表演节目，11个男同学排成一排，每两个男生之间安排一个女生，表演节目的男女生一共有多少人？21 §3.3生活中的旋转一、知识回顾下列现象哪些是平移?平移的特点有哪些？①平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点.经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。日常生活中，我们经常见到（钟表、风扇、汽车方向盘，摩天轮，旋转木马……）钟表指针的转动、风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动等情景。（1)上面情景中的转动现象，有什么共同特征？(2)钟表的指针、钟摆在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动呢？二、新知要点1.旋转在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变。因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？　　　　解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．21 （2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的置。2．旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等；（4）图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。一、新知巩固1.如图所示，如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF。在这个旋转过程中（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移到什么位置？（3）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？（4）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？2.在正方形ABCD中，∠1＝∠2＝30°，试把ΔADE绕点A顺时针旋转90°，观察整个图形中角与角之间，线段与线段之间，存在哪些相等的关系？探索DE，BF，AF之间的关系。二、归纳小结●认识了旋转的图形；●旋转图形的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向；●旋转图形的性质。五、课外作业1.平移不改变图形的________，只改变图形的位置。故此若将线段AB向右平移3cm，得到线段CD，如果AB=5㎝，则CD=___________2.下列关于旋转和平移的说法正确的是（）A旋转使图形的形状发生改变B由旋转得到的图形一定可以通过平移得到C平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小D对应点到旋转中心距离相等3.如图，正方形ABCD可以看成由三角形______旋转而成的，其旋转中心为______点，旋转角度依次为________，________，________。21 4．下列现象哪些是平移，哪些是旋转。 5．会变的头像左图中的头像，是一个顽皮的小孩，正在嬉皮笑脸地开玩笑。倒过头来仔细看看，再说一说这是个什么人？他是什么样的表情？ 21 §3.4简单的旋转作图一、知识回顾1.旋转的概念2.旋转的三要素3.旋转的性质如图，在方格上作出“小旗子”绕O点按顺时针方向旋转90 度后的图案，并简述理由。     O二、新知要点简单图形的旋转作图两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点。作图步骤：①作出图形的几个关键点旋转后的对应点；②顺次连接各点得到旋转后的图形。例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示．解：（1）连结CD（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD（3）在射线CE上截取CB′=CB则B′即为所求的B的对应点．（4）连结DB′则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形。例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=，△ABF21 是△ADE的旋转图形．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF的长度是多少？（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到。△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋转中心是A点（2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的∴B是D的对应点∴∠DAB=90°就是旋转角（3）∵AD=1，DE=∴AE==∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点∴AF=（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE∴△EAF是等腰直角三角形．三、新知巩固1．平面图形的旋转一般情况下改变图形的（　　）A位置B大小C形状D性质2．9点钟时，钟表的时针和分针之间的夹角是（　　）A30°B45°C60°D90°3．将平行四边形ABCD旋转到平行四边形A′B′C′D′的位置，下列结论错误的是（　　）A．AB=A′B′B．AB∥A′B′C．∠A=∠A′D．△ABC≌△A′B′C′4．做一做在图1中，将大写字母A绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90度，请作出旋转后的图案．图1四、归纳小结21 ●图形的旋转●图形旋转的性质●简单图形的旋转作图步骤五、课外作业1．钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的_______。2．菱形ABCD绕点O沿逆时针方向旋转到四边形，则四边形是__________。3．△ABC绕一点旋转到△A′B′C′，则△ABC和△A′B′C′的关系是_______。4．钟表的时针经过20分钟，旋转了_______度。5．图形的旋转只改变图形的_______，而不改变图形的_______。6．在图中，将大写字母H绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，请作出旋转后的图案。7．将一个等腰直角三角形ABC（如图2∠A是直角）绕着它的一个顶点B逆时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形。（1）45°　　　（2）90°　　　（3）135°　　　（4）180°图28．将下面的图案绕点O顺时针方向旋转90度，作出旋转后的图形。图321 对比平移、轴对称两种图形变换,旋转变换与它们有哪些共性和区别?§3.5他们是怎样变过来的一、知识回顾1.平移的概念:在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移2.平移的性质：1.平移不改变图形的大小和形状。2.对应点所连的线平行且相等。对应线段平行且相等。对应角相等。3.旋转的概念：4.旋转的性质5.轴对称的概念6.轴对称的性质观察下列图形是怎么变过来的？二、新知要点例1：下图由四部分组成，每部分都包括两个小“十”字，其中一部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？能经过轴对称吗？还有其它方式吗？解析：(1)整个图形可以看做是由一个“十”字组成部分通过连续七次平移前后的图形共同组成；(2)整个图形也可以看做是由左边的两个“十”字组成的部分通过三次放置形成的；(3)整个图形不定期可以看做把左边的两个“十”字组成的部分先通过平移一次形成左右四个“十”字组成的图形，然后绕图形中心旋转90度前后的图形共同组成；(4)整个图形还可以看做把左边的两个“十”字组成的部分通过二次轴对称形成的。……通过上述问题的讨论，我们看到图形的平移、旋转，轴对称变换是图形变换中最基本的三种变换方式，它们是今后设计图案的主要手段。例2：“想一想”你能将下面的左图，通过平移或旋转得到右图吗？21 三、新知巩固1.怎样将下图中的甲图变成乙图案？2.如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动，将方格中的△ABC重合到△DEF上．如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形对称轴对称轴例：怎样将下图中的甲图变成乙图案？21 2、下图是由三个正三角形拼成的，它可以看作由其中一个三角形经过怎样的变化而得到的？看一看：下列三幅图案分别是由什么“基本图形”经过平移或旋转而得到的？1．2．21 3．试一试：怎样将下图中的甲图变成乙图？做一做：如图①，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB，（1）求证：△ABE≌△ADF．（2）阅读下列材料：如图②，把△ABC沿直线平移线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图③，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图④，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．　　　图①　　　　　　　图②　　　　　　　　　图③　　　　图④请回答下列问题：（1）在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置？（2）指出图①中线段BE与DF之间的关系．1.旋转的三要素（1）旋转中心；（2）旋转方向；（3）旋转角度。21 三、解答题9．下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度．11．如图，菱形A′B′C′D′是菱形ABCD绕点O顺时针旋转90°后得到的，你能作出旋转前的图形吗？12．Rt△ABC，绕它的锐角顶点A分别逆时针旋转90°、180°和顺时针旋转90°，（1）试作出Rt△ABC旋转后的三角形；（2）将所得的所有三角形看成一个图形，你将得到怎样的图形？13．如图，将右面的扇形绕点O按顺时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形：（1）90°；（2）180°；（3）270°．你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗？14．如图，分析图中的旋转现象，并仿照此图案设计一个图案．21 §3.6简单的图案设计图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的。其中中心对称是旋转变换的一种特例。1.中心对称把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。2.中心对称图形如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么我们就说，这个图形是中心对称图形。3.中心对称的性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。5.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o后不变的字是_______在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180）后不能与原图形重合的是____3.如图⑴，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块统正方形的中心O作0○～90o的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n的关系的图象大致是图⑵中的（）（图1）（图2）4.如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动，将方格中的△ABC重合到△DEF上．5.如图是跷跷板示意图，模板AB通过点O，且可以绕点O上下转动，如果∠OCA＝90○，∠CAO=25○，（1）画出在空中划过的线；（2）上下最多可以转动多少角度？21 三：【课后训练】5.如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度为（）A．3B．3C．5D．46.△ABC是等腰直角三角形，如图，AB=AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，△ACD经过旋转到达△ABE的位置，则其旋转角的度数为（）A．90°B．120°C．60°D．45°7.如图，先将方格纸中“猫头”分别向左平移6格、12格，然后分析所画三个图案的关系．8.如图，已知∠AOB，要求把其往正东方向平移3cm，要求留画痕，写作法．9.已知边长为1个单位的等边三角形ABC，（1）将这个三角形绕它的顶点C按顺时针方向旋转30○作出这个图形；（2）再将已知三角形分别按顺时针方向旋转60○、90○、120○，作出这些图形．10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，请你用对称和旋转的知识回答下列问题：（l）△ADE和△DFA关于直线AD对称吗?为什么？（2）把△BDE绕点D顺时针旋转160○后能否与△CDF重合？为什么？（3）把△BDE绕点D旋转多少度后，此时的△BDE和△CDF关于直线BC对称？（二）：【课前练习】21 3.4简单的旋转作图四、应用拓展例3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的∴BK=DM21