12.2 第4课时 “斜边、直角边”课件

12.2三角全等形的判定第十二章全等三角形第4课时“斜边、直角边” SSSSASASAAAS旧知回顾：我们学过的判定三角形全等的方法有哪些？ 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直角边是_____、_____，斜边是______.CBAACBCAB思考：前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？ 1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ABCA′B′C′2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？3.两个直角三角形中，两直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？口答： 动脑想一想如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？我们知道，证明一般的三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF 问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？ABCDEF直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理） 任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ABC作图探究 点击视频开始播放→视频：斜边，直角边定理 画图思路(1)先画∠MC′N＝90°；ABCMC′N (2)在射线C′M上截取B′C′＝BC；MC′ABCNB′MC′画图思路 (3)以点B′为圆心，AB长为半径画弧，交射线C′N于A′；MC′ABCNB′A′画图思路 (4)连接A′B′.MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？画图思路 知识要点“斜边、直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).几何语言：ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).AB=A′B′，BC=B′C′，“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：(1)一个锐角和这个角的对边分别相等；()(2)一个锐角和这个角的邻边分别相等；()(3)一个锐角和斜边分别相等；()(4)两直角边分别相等；()(5)一条直角边和斜边分别相等．()HLAAS或ASASASAASAAS判一判 典例精析例1如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证：BC=AD.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角.AB=BA，AC=BD.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC=AD.ABDC应用“HL”的前提条件是在直角三角形中这是应用“HL”判定方法的书写格式利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路 变式1：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.(1)()(2)()(3)()(4)()ABDCAD＝BC∠DAB＝∠CBABD＝AC∠DBA＝∠CABHLHLAASAAS 如图，AC、BD交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AD=BC.求证：AC=BD.变式2HLAC＝BDRt△ABD≌Rt△BAC 如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判断AD和BC的位置关系.变式3HL∠ADB＝∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC 证明：∵AD，AF分别是钝角△ABC和△ABE的高，∴∠D＝∠F＝90°.在Rt△ADC和Rt△AFE中，AC＝AE，AD＝AF，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD＝EF.在Rt△ABD和Rt△ABF中，例2如图，已知AD，AF分别是钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.AB＝AB，AD＝AF，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE. 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 例3如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°，∴∠B+∠F=90°. 1.判定两个直角三角形全等的方法不正确的有()A.两条直角边分别相等B.斜边和一锐角分别相等C.斜边和一条直角边分别相等D.两个锐角分别相等D2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为()A.1B.2C.3D.4A 4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.ABCED证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC和Rt△DCB中，CE=BD，BC=CB，∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC(填“全等”或“不全等”)，根据是(用简写法).全等HL┑ AFCEDB5.如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF.求证：BF=DE.证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD，AF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE. AB＝CD，AF＝CE，Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)BF＝DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS)∠BFG＝∠DEG∠BGF＝∠DGEFG＝EGBD平分EF如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF.求证：BD平分EF.AFCEDBG变式训练1 如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF.想一想：BD平分EF吗?变式训练2AFCEDBGAB＝CD，AF＝CE，Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)BF＝DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS)∠BFG＝∠DEG∠BGF＝∠DGEFG＝EGBD平分EF 6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？解：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL).∴AP＝BC＝5cm；能力拓展 ②当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△PQA中，AB＝PQ，AC＝PA，∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL).∴AP＝AC＝10cm.∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等.【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解． “斜边、直角边”内容斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等前提条件在直角三角形中使用方法只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个是一对边相等)