12.3 第2课时 角平分线的判定导学案

第十二章全等三角形12.3角平分线的性质第2课时角平分线的判定学习目标：1．理解角平分线的判定定理.2．掌握角平分线判定定理的推导方法并应用其解题.3．学会判断一个点是否在一个角的平分线上.重点：掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题．难点：角平分线的判定的灵活运用．自主学习一、知识链接1．写出命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题．2．写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题．二、新知预习1．分别画出下列三角形三个内角的平分线．你发现了什么特点吗？2．自主归纳（1）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的上；（2）①三角形的三条角平分线相交于点，它到；②三角形内，到三边距离相等的点是．三、自学自测1．如图1，PM=PN，∠BOC=30°，则∠AOB=　　　　　．图1图22．如图2，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小关系是(　　)A．∠1=∠2B．∠1>∠2C．∠1<∠2D．无法确定四、我的疑惑______________________________ 课堂探究一、要点探究探究点1：角平分线的判定问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？猜想：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．证明猜想：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．知识总结：判定定理：．应用所具备的条件：（1）位置关系：；（2）数量关系：．定理的作用：．应用格式：∵，∴点P在∠AOB的平分线上．典例精析例1如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为500米，这个集贸市场应建在何处？方法总结:根据角平分线的判定定理，要求作点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点． 探究点2：三角形的内角平分线活动1分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？发现：活动2：分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每条垂线段的长度，你发现了什么？发现：你能证明这个结论吗？证明结论：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．变式1：如图，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP、BD交于点O，过点O作OM⊥AC于点M，若OM＝4．（1）求点O到△ABC三边的距离和；（2）若△ABC的周长为32，求△ABC的面积． 典例精析例2：如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)A．110°B．120°C．130°D．140°方法总结:由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．归纳总结：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上二、课堂小结内容角平分线的判定定理判断一个点是否在角的平分线上作用三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离相等结论当堂检测1．如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P． 2．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，点P在AD上，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．3．已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N．求证：CM＝CN．4．如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．拓展提升：5．如图，直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处？画出它的位置． 参考答案自主学习一、知识链接1．对应边相等的两个三角形是全等三角形．2．到角的两边的距离相等的是角平分线上的点．二、新知预习1．解：如图．三角形的角平分线交于一点2．解：（1）平分线（2）①一三边的距离相等②角平分线的交点三、自学自测1．60°2．A四、我的疑惑课堂探究一、要点探究探究点1：角平分线的判定证明猜想：证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△PDO和Rt△PEO中，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）．∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）．∴点P在∠AOB的平分线上．知识总结：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上（1）点在角的内部（2）该点到角两边的距离相等判断点是否在角平分线上PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，典例精析例1解：作夹角的平分线OC，截取OD=500m，则点D即为所求． 探究点2：三角形的内角平分线活动1发现三角形的三条角平分线相交于一点活动2发现过交点作三角形三边的垂线段相等证明结论：证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE．同理PE=PF．∴PD=PE=PF．即点P到三边AB，BC，CA的距离相等．想一想点P在∠A的平分线上．变式1解：（1）过点O作OE⊥AB于点EOE⊥AB于点N．∵AP、BD分别平分∠BAC、∠ABC，OM⊥AC，OE⊥AB，OE⊥AB，且OM＝4，∴OE=ON=OM=4．∴点O到△ABC三边的距离和为3×4=12．（2）连接OC，则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=典例精析例2A解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是三条内角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∵∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∴∠OBC＋∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°－70°＝110°．当堂检测1．解：如图，点P即为所求．2．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4．∴AD平分∠BAC．3．证明：∵OD平分线∠POQ，∴∠AOD=∠BOD． 在△AOD与△BOD中，∴△AOD≌△BOD．∴∠ADO=∠BDO．∵CM⊥AD，CN⊥BD，∴CM=CN．4．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M．∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC，∴FG＝FM．又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH．∴FG＝FH．∴点F在∠DAE的平分线上．　　　拓展提升5．解：如图，可选择的地址有4处．