12.3 第1课时 角平分线的性质导学案

第十二章全等三角形12．3角平分线的性质第1课时角平分线的性质学习目标：1．通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理．2．能运用角的平分线性质解决简单的几何问题．重点：能运用角的平分线性质解决简单的几何问题．难点：通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理．自主学习一、知识链接1．判定两个三角形全等的方法有哪几种？2．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，则∠=∠．过点D作DE⊥BC，垂足为E，则图中线段的长度表示点D到BC的距离．二、新知预习1．OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点．PD[来源:学科网]PE第一次第二次第三次[来源:学，科，网Z，X，X，K]操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论．2．下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则PD＝PE的是（）ABCD3．猜想：角平分线的性质：角平分线上任意一点到两边的相等． 三、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________课堂探究一、要点探究探究点1：尺规作角平分线问题：如果没有角平分仪，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系．提示：（1）已知什么？求作什么？（2）把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?（3）在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？（4）你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．注意：作角平分线是最基本的尺规作图之一，大家一定要掌握．针对训练已知：平角∠AOB．求作：平角∠AOB的角平分线．结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法． 探究点2：角平分线的性质实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点．1．操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．验证猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD=PE．方法归纳：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1．明确命题中的已知和求证；2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．知识要点：性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．应用所具备的条件：（1）点在该平分线上；（2）到角两边的距离(垂直).定理的作用：证明线段相等．应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．判一判：（1）∵如下左图，AD平分∠BAC（已知），∴BD=CD．（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）（2）∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知），∴BD=CD．（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 典例精析例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．例2如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm．变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝m，AB=14．（1）则点P到AB的距离为_______(用含m的式子表示)；（2）求△APB的面积(用含m的式子表示)；（3）求△PDB的周长．二、课堂小结属于基本作图，必须熟练掌握尺规作图一个点：角平分线上的点；角平分线性质定理二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段(距离)相等过角平分线上一点向两边作垂线段添加辅助线 当堂检测1．如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=度，BE=．第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是．3．用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边的距离相等4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)A．6B．5C．4D．35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：（1）哪条线段与DE相等？为什么？（2）若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长．6．如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离．7．如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F．求证：CE＝CF． 参考答案自主学习一、知识链接1．SSS、SAS、ASA、AAS、HL2．ABDCBDDE二、新知预习1．PD=PE2．D3．距离三、我的疑惑课堂探究一、要点探究探究点1：尺规作角平分线问题能做一做作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．针对训练解：如图．探究点2：角平分线的性质验证猜想证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．在△PDO和△PEO中，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE．判一判（1）×（2）×典例精析例1证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴EB=FC．例24变式解：（1）m （2）由角平分线的性质，可知，PD=PC=m，．（3）由题意可证△ACP≌△ADQ，∴AC=AD．∴C△PDB=PD+PB+DB=PC+PB+DB=BC+DB=AD+DB=AB=14．当堂检测1．60BF2．33．A4．D解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴，解得AC＝3．5．解：（1）DC=DE．理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等．（2）∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠EBD．在△CDB和△EDB中，∴△CDB≌△EDB(AAS).∴BE＝BC=8．∴AE＝AB-BE=2．∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8．6．解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N．∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离．∵AP平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，∴PM=PE．同理，PN=PE．∴PM=PN=PE=3．∴MN=6．即AD与BC之间的距离为6．7．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF．在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF．