12.3角平分线的性质定理

角平分线的性质第一课时 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC活动1再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？（对折）情境问题 1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?活动2情境问题ADBCE如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 2、证明：在△ACD和△ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）ADBCE 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCE探究新知活动3NOMCENM ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．如何用尺规作角的平分线？AＢＯＭＮＣ作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求． 1〉平分平角∠AOB2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ABOCD 探究角平分线的性质(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活动5(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 证明：在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO∠1=∠2OP=OP∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PEPAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE探究角平分线的性质∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．∵OP是∠AOB的角平分线又PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE（角平分线上的性质）AOBEDP证明线段相等有角的平分线，有垂直距离应用定理的前提条件是：定理的作用： 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,点D是BC中点,过点D作DE⊥AB交AB于点E,过点D作DF⊥AC交AC于点F.求证:EB=FC.ABEDCF证明：∵AD平分∠CABDE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝DF(角平分线的性质)在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,DE=DF（已证）BD=CD（已知）∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴EB=CF（全等三角形对应边相等） 思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路 2.在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。EDCBA 例1已知：在等腰Rt△ABC中，AC＝BC∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E。求证：BD＋DE＝AC变式已知AB＝15cm,求△DBE的周长EDCBA 小结:1：画一个已知角的角平分线；(注意作图痕迹和几何语言的表达)及画一条已知直线的垂线；2：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．3：角平分线的性质的应用