11.2.1 第1课时 三角形的内角和课件

11.2.1三角形的内角第十一章三角形11.2与三角形有关的角第1课时三角形的内角和 我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.情境引入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来证明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？还有其他的拼接方法吗？探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角撕下来拼合在一起.三角形的内角和定理的证明 验证结论三角形三个内角的和等于180°.求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点A作l∥BC，则∠B=∠1，∠C=∠2(两直线平行，内错角相等).∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，则∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)，∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12 CBAEDF证法3：过D作DE∥AC，DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC(两直线平行，同位角相等)，∠A+∠AED=180°，∠EDF+∠AED=180°(两直线平行，同旁内角相补).∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠C+∠A+∠B=180°.想一想：同学们还有其他的证法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.CAB12345lACB12345lP6mABCDE 知识要点在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.辅助线 在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.三角形的内角和定理的运用 【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°.在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.例2如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 基本图形由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.总结归纳由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解：设∠B为x°，则∠A为3x°，∠C为(x+15)°，从而有3x+x+(x+15)＝180.解得x＝33.∴3x＝99，x+15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.几何问题借助方程来解，这是一个重要的数学思想. 【变式题】如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数.含比例关系也可考虑用方程思想求角度. 解：由于∠A＝∠B＝∠ACB，故可设∠A＝x，∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝×90°＝45°.∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°. 2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC按角分是_______三角形.针对训练：1.在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠C=°.3.在△ABC中，∠A=∠B+10°，∠C=∠A+10°，则∠A=°，∠B=°，∠C=°.102直角605070 例4如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？北AD北CB.东E..三角形的内角和定理也常常用在实际问题中. 解：由题意得∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180°，所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°，∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.北AD北CB.东E.. 【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.解：如图，由题意得BE∥AD，∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，∴∠EBA=∠BAD=40°，∠BAC=40°+15°=55°.∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°.∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-40°=85°.DE 1.求出下列各图中的x值.x=70x=60x=30x=50 2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=______°.BACD4132E40°（280 3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE.∴∠CED=∠B=78°.又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-(∠CED+∠C)=180°-(78°+60°)=42°. 4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAC=30°.∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°. 5.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB.（1）若∠A=60°，求∠BPC的度数．解：在△ABC中，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-60°=120°．拓展提升 (2)你能直接写出∠BPC与∠A之间的数量关系吗？解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A）=90°+∠A． 三角形的内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于180°