11.2.1 第1课时 三角形的内角和导学案

第十一章三角形11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角第1课时三角形的内角和学习目标：1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.2.能运用三角形的内角和定理进行计算.重点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.难点：能运用三角形的内角和定理进行计算.自主学习一、知识链接1.三角形按照角的大小分类，可以分为_________、_________、_________.2.分别用量角器量出下面三个三角形的内角度数，并填表.三角形形状每个内角的度数三个内角的和锐角三角形直角三角形钝角三角形CAB二、新知预习1.如图，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=_______，2.在小学我们通过拼接、测量就已经知道三角形的内角和为______，与其形状、大小_____(填“有关”或“无关”）.三、自学自测在△ABC中，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠C＝________.四、我的疑惑____________________________________________________________________________________________________________________________ 课堂探究一、要点探究探究点1：三角形内角和定理的证明探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.问题1：观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.证法1：过点A作l∥BC，证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，证法3：过BC上一点D作DE∥AC，作DF∥AB.思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？知识要点1.辅助线在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 2.思路总结为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.探究点2：三角形内角和定理的应用例1：如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数.例2：如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.总结归纳：基本图形由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 例3：在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.【变式题】如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．针对训练1.在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠C=______°.2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC按角分是_____三角形.3.在△ABC中，∠A=∠B+10°，∠C=∠A+10°，则∠A=_____°，∠B=_____°，∠C=_____°.三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.例4：如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.二、课堂小结三角形的内角和为180°. 当堂检测1.求出下列各图中的x值．2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________.3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.拓展提升：5.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB.（1）若∠A=60°，求∠BPC的度数．（2）你能直接写出∠BPC与∠A之间的数量关系吗？ 参考答案自主学习一、知识链接1.锐角三角形直角三角形钝角三角形2.三角形形状每个内角的度数三个内角的和锐角三角形180°直角三角形180°钝角三角形180°二、新知预习1.180°2.180°无关三、自学自测80°四、我的疑惑课堂探究一、要点探究探究点1：三角形内角和定理的证明问题1：证法1：过点A作直线l∥BC，∴∠B=∠1，(两直线平行，内错角相等)∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴∠A=∠1，(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.证法3：过BC上一点D作DE∥AC，作DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.思考：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.探究点2：三角形内角和定理的应用例1解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°. 【变式题】解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.例2解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.例3解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x＋15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.【变式题】解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.针对训练1.1022.直角3.605070例4解：由题意得∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°，所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°，∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.【变式题】解：如图，由题意得BE∥AD，∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，∴∠EBA=∠BAD=40°，∠BAC=40°+15°=55°，∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-55°-40°=85°．当堂检测1.x=70x=60x=30x=502.280°3.解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°． 4.解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°.拓展提升5.解：（1）∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-60°=120°．（2）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．