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四川省南充市嘉陵第一中学2022-2023学年高二理科数学下学期期中试题(Word版附解析)

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2022—2023学年高二下期期中考试理科数学试题考试范围:圆锥曲线、导数、选修4-4第一章坐标系考试时间:120分钟;总分:150分注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数,,则()A.B.的共轭复数为C.复数对应的点位于第二象限D.复数为纯虚数【答案】D【解析】【分析】利用复数的模长公式可判断A选项;利用共轭复数的定义可判断B选项;利用复数的乘法以及复数的几何意义可判断C选项;利用复数的除法以及复数的概念可判断D选项.【详解】,,,所以,,则A错误;的共轭复数为,则,故B错误;,复数对应的点,位于第四象限,故C错误;为纯虚数,故D正确.故选:AD.2.下列函数中,既是定义域内单调递增函数,又是奇函数的为()A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】求导,根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.【详解】对于A,为奇函数,是周期函数,在定义域内不单调,不符合题意,不符合题意;对于,定义域为,所以为奇函数,但在定义域内不单调,不符合题意;对于C,,故函数不是奇函数,不符合题意;对于D,,是增函数,,是奇函数,满足题意;故选:D.3.若,则(  )A.0B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由常数的导数为0即可得解.【详解】∵,∴.故选:A.4.设双曲线的渐近线方程为,则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据渐近线方程求出a与b的关系即可.【详解】双曲线的渐近线方程为:,又;故选:A.5.如图,方程表示的曲线是().A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分和,去掉绝对值,得到相应的曲线.【详解】,当时,,当时,,画出符合题意的曲线,为B选项,故选:B6.对于常数,“”是“方程曲线是椭圆”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 【分析】运用椭圆方程的一般形式求得m、n的范围,结合两集合的包含关系判断即可.【详解】因为“方程的曲线是椭圆”,则,又因为,但,所以“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选:B.7.已知,,为坐标原点,动点满足,其中、,且,则动点的轨迹是()A.焦距为的椭圆B.焦距为的椭圆C.焦距为的双曲线D.焦距为的双曲线【答案】D【解析】【分析】动点,由得到,,进而得到,化简可得答案.【详解】设动点,因为点满足,其中、,且,所以,所以,,所以,,所以,即,表示焦距为的双曲线.故选:D8.已知函数的导函数为,且满足,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在等式求导,再令,可得出关于的等式,解之即可. 【详解】在等式两边求导得,所以,,解得.故选:C.9.已知函数的导函数是,对任意的,,若,则的解集是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设,求得,根据题意得到,得到函数单调递减,又由,得到,把,转化为,结合函数的单调性,即可求得不等式的解集.【详解】设函数,可得,因为,可得,所以函数单调递减,又因为,可得,由不等式,即为,所以,即不等式的解集为.故选:C.10.函数的定义域为,它的导函数的部分图像如图所示,则下列结论正确的是()A.是的极小值点B. C.函数在上有极大值D.函数有三个极值点【答案】B【解析】【分析】根据导函数与原函数的关系,结合极值点和极大值的定义逐一判断即可.【详解】当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以有,因此选项B正确;当时,,单调递增,所以在上没有极大值,因此选项C不正确;当时,,单调递增,因此不是的极值点,只有当时,函数有极值点,所以选项A不正确,选项D不正确,故选:B11.的右焦点为,点在双曲线上,若,且,其中为坐标原点,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】根据已知判断在双曲线右支上,根据双曲线的定义可得.然后在中,根据余弦定理即可得出的齐次方程,然后得出离心率的方程,求解即可得出答案. 【详解】设双曲线左焦点为,由已知可推得在双曲线右支上,如图所示,根据双曲线的定义可知,,所以.由已知,,在中,有,,,由余弦定理可得,,即,整理可得,,两边同时除以可得,,解得或(舍去),所以.故选:C.12.已知动点P在双曲线C:上,双曲线C的左、右焦点分别为,,则下列结论:①C的离心率为2;②C的焦点弦最短为6;③动点P到两条渐近线的距离之积为定值;④当动点P在双曲线C的左支上时,的最大值为.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】①由性质可得;②用特殊值可判定;③设点坐标计算化简即可,④利用双曲线的焦半径办公计算即可.详解】由题意可得,即①正确;显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时,该弦长为实轴,长度为2<6,即②错误;易知双曲线的渐近线方程为,设点,则,且到两条双曲线的距离之积为是定值,故③正确;对于④,先推下双曲线的焦半径公式:对双曲线上任意一点及双曲线的左右焦点,则,同理,所以,此即为双曲线的焦半径公式.设点,由双曲线的焦半径公式可得,故,其中,则,由二次函数的性质可得其最大值为,当且仅当,即时取得,故④错误;综上正确的是①③两个.故选:B第II卷(非选择题)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.动点P到两定点A(-4,0)、B(4,0)距离之和为10,则点P的轨迹方程为________. 【答案】.【解析】【分析】利用定义法求点P的轨迹方程.【详解】解:因为,由椭圆的定义可知,动点的轨迹是以,为焦点,长轴长为10的椭圆,所以,,所以点的轨迹方程是.故答案为:14.若函数的图象在处的切线斜率为,则实数__________.【答案】##【解析】【分析】求出函数的导数,再利用导数的几何意义及直线斜率的定义可求【详解】因为,所以,所以在处的切线斜率,解得.故答案为:.15.已知抛物线:的焦点为,设点在抛物线上,若以线段为直径的圆过点,则______.【答案】【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得,进而得斜率关系,联立直线与抛物线的方程即可得交点,由焦半径公式即可求解.【详解】因为,所以,焦点的坐标为. 设,则直线的斜率为,因为以线段为直径的圆过点,所以,所以直线的斜率为,直线的方程为联立解得,,故答案为:16.已知球的半径为2,四棱锥的顶点均在球的球面上,当该四棱锥的体积最大时,其高为______【答案】##【解析】【分析】根据圆的几何性质、球的几何性质,结合导数的性质、棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】圆内接四边形是正方形时,这个四边形的面积最大,当四棱锥的高经过点时,此时体积最大,如图所示:设此时正方形的边长为,所以,设该四棱锥的高为,所以有,由勾股定理可得:, 该四棱锥体积为,设,当时,单调递增,当时,单调递减,所以当时,函数有最大值.故答案为:.【点睛】关键点睛:根据导数的性质是解题的关键.三、解答题:本题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.求适合下列条件的曲线的标准方程.(1)实轴长为,焦点坐标为,求双曲线的标准方程;(2)焦点在轴正半轴上,且焦点到准线的距离是的抛物线的标准方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由实轴长得到,由焦点坐标得到焦点位置和,再由,即可求出双曲线的标准方程;(2)由抛物线标准方程相关概念求解即可.【小问1详解】∵双曲线的一个焦点坐标为,为轴上一点,∴设双曲线标准方程(,),且,又∵双曲线实轴长为,∴,,∴, ∴双曲线的标准方程为.【小问2详解】∵抛物线焦点在轴正半轴上,∴设抛物线的标准方程为(),又∵抛物线焦点到准线的距离是,∴,∴抛物线的标准方程为.18.已知函数且在处取得极值.(1)求a,b值;(2)求函数在的最大值与最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用来求得的值.(2)结合(1)求得在区间上的最值,由此确定正确结论.【小问1详解】,依题意,解得.,所以在区间上递增;在区间上递减.所以在处取得极大值,在处取得极小值,符合题意.【小问2详解】, ,由(1)知,在区间上的最大值为,最小值为.19.如图1所示,在边长为3的正方形中,将沿折到的位置,使得平面平面,得到图2所示的三棱锥.点分别在上,且,,.记平面与平面的交线为l.(1)在图2中画出交线l,保留作图痕迹,并写出画法.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】(1)利用公理3,通过找出两平面的两个公共点即可求出结果;(2)建立空间直角坐系,求出平面AFG与平面EFG的法向量,再利用空间向量的面面公式及图形即可求出结果.【小问1详解】作图步骤:如图所示,延长EF,AB交于点M,延长AC,EG交于点N,连接MN,则直线MN即为交线l.保留作图痕迹且正确.【小问2详解】四边形ABCD是长为3的正方形,取中点,连接,则,,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,又 平面,所以,故可建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,,.设平面AFG与平面EFG的法向量分别为,,则由,得到,不妨设,则,所以,由,得到,取,则,所以,所以.由图知,二面角为锐二面角,故二面角的余弦值为.20.已知椭圆的离心率为,直线,左焦点F到直线l的距离为. (1)求椭圆的标准方程;(2)直线与椭圆相交于A,B两点.C,D是椭圆T上异于A,B的任意两点,且直线AC,BC,AD,BD的斜率都存在.直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N.设直线AC,BC的斜率为,.①求的值;②求直线MN的斜率.【答案】(1)(2)①;②【解析】【分析】(1)由距离公式求出,再由离心率求出,即可求出,从而得解;(2)首先求出,两点坐标,①设,利用斜率公式计算可得;②设,的斜率分别为,,设直线的方程为,直线的方程为,即可求出点坐标,同理求出点坐标,再由斜率公式计算即可得解.【小问1详解】因为,所以,又左焦点到直线的距离为,有,解得或(舍去),所以,,椭圆方程为. 【小问2详解】由(1)知,椭圆的方程为,由,解得或,所以,.①,斜率都存在,即,存在.设,显然,且,从而.②设,的斜率分别为,,设直线的方程为,直线的方程为.由,解得,从而点的坐标为,因为,,设直线的方程为,即,设直线的方程为,即, 用代,代得点的坐标为,即点的坐标为,所以.21.已知函数.(1)求的极值;(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)极小值,无极大值.(2)【解析】【分析】(1)求出函数的导函数,即可得到函数的单调区间,从而求出函数的极值;(2)参变分离可得对任意的,恒成立,令,,利用导数说明函数的单调性,求出函数的最小值,即可得解.【小问1详解】函数的定义域为,又,令得,令得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以在处取得极小值,无极大值.【小问2详解】 由得,即对任意的,恒成立,令,,则,令,则,所以当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减,又,,,所以当时在内存在唯一的零点,所以当时,,单调递增,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以,,因为,所以,,所以,因为,所以,所以,所以实数的取值范围为.【点睛】 方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.已知曲线C的极坐标方程为,A,B是曲线C上不同的两点,且,其中O为极点.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)求点B的极径.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用极坐标与直角坐标的互化即可求得曲线C的直角坐标方程;(2)利用题给条件列方程组即可求得点B的极径.【小问1详解】由,,得:,所以曲线C的直角坐标方程为;【小问2详解】设,则由题意可知,将A,B坐标代入方程得:,∴,得(负值舍去),∴B的极径为.23.在直角坐标系中,曲线M的方程为,曲线N的方程为,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求曲线M,N的极坐标方程; (2)若射线与曲线M交于点A(异于极点),与曲线N交于点B,且,求.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式,即可求解曲线和的极坐标方程;(2)将代入曲线和的方程,求得和,结合题意求得,即可求解.【小问1详解】解:由,可得,即,又由,可得,所以曲线M的极坐标方程为.由,可得,即,即曲线N的极坐标方程为.【小问2详解】解:将代入,可得,将代入,可得,则,因为,所以,

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-08-25 19:09:01 页数:20
价格:¥2 大小:1.79 MB
文章作者:随遇而安

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