四川省南充市嘉陵第一中学2022-2023学年高二理科数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022—2023学年高二下期期中考试理科数学试题考试范围：圆锥曲线、导数、选修4-4第一章坐标系考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，，则（）A.B.的共轭复数为C.复数对应的点位于第二象限D.复数为纯虚数【答案】D【解析】【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的乘法以及复数的几何意义可判断C选项；利用复数的除法以及复数的概念可判断D选项.【详解】，，，所以，，则A错误；的共轭复数为，则，故B错误；，复数对应的点，位于第四象限，故C错误；为纯虚数，故D正确.故选：AD.2.下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.【详解】对于A，为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；对于，定义域为，所以为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；对于C，，故函数不是奇函数，不符合题意；对于D，，是增函数，，是奇函数，满足题意；故选：D.3.若，则（　　）A.0B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由常数的导数为0即可得解.【详解】∵，∴.故选：A.4.设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据渐近线方程求出a与b的关系即可.【详解】双曲线的渐近线方程为：，又；故选：A.5.如图，方程表示的曲线是（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分和，去掉绝对值，得到相应的曲线.【详解】，当时，，当时，，画出符合题意的曲线，为B选项，故选：B6.对于常数，“”是“方程曲线是椭圆”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 【分析】运用椭圆方程的一般形式求得m、n的范围，结合两集合的包含关系判断即可.【详解】因为“方程的曲线是椭圆”，则，又因为，但，所以“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选：B.7.已知，，为坐标原点，动点满足，其中、，且，则动点的轨迹是（）A.焦距为的椭圆B.焦距为的椭圆C.焦距为的双曲线D.焦距为的双曲线【答案】D【解析】【分析】动点，由得到，，进而得到，化简可得答案.【详解】设动点，因为点满足，其中、，且，所以，所以，，所以，，所以，即，表示焦距为的双曲线.故选：D8.已知函数的导函数为，且满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在等式求导，再令，可得出关于的等式，解之即可. 【详解】在等式两边求导得，所以，，解得.故选：C.9.已知函数的导函数是，对任意的，，若，则的解集是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，求得，根据题意得到，得到函数单调递减，又由，得到，把，转化为，结合函数的单调性，即可求得不等式的解集.【详解】设函数，可得，因为，可得，所以函数单调递减，又因为，可得，由不等式，即为，所以，即不等式的解集为.故选：C.10.函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A.是的极小值点B. C.函数在上有极大值D.函数有三个极值点【答案】B【解析】【分析】根据导函数与原函数的关系，结合极值点和极大值的定义逐一判断即可.【详解】当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有，因此选项B正确；当时，，单调递增，所以在上没有极大值，因此选项C不正确；当时，，单调递增，因此不是的极值点，只有当时，函数有极值点，所以选项A不正确，选项D不正确，故选：B11.的右焦点为，点在双曲线上，若，且，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】根据已知判断在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得.然后在中，根据余弦定理即可得出的齐次方程，然后得出离心率的方程，求解即可得出答案. 【详解】设双曲线左焦点为，由已知可推得在双曲线右支上，如图所示，根据双曲线的定义可知，，所以.由已知，，在中，有，，，由余弦定理可得，，即，整理可得，，两边同时除以可得，，解得或（舍去），所以.故选：C.12.已知动点P在双曲线C：上，双曲线C的左、右焦点分别为，，则下列结论：①C的离心率为2；②C的焦点弦最短为6；③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；④当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为．其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可.详解】由题意可得，即①正确；显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2＜6，即②错误；易知双曲线的渐近线方程为，设点，则，且到两条双曲线的距离之积为是定值，故③正确；对于④，先推下双曲线的焦半径公式：对双曲线上任意一点及双曲线的左右焦点，则，同理，所以，此即为双曲线的焦半径公式.设点，由双曲线的焦半径公式可得，故，其中，则，由二次函数的性质可得其最大值为，当且仅当，即时取得，故④错误；综上正确的是①③两个.故选：B第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.动点P到两定点A(－4，0)、B(4，0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为________． 【答案】．【解析】【分析】利用定义法求点P的轨迹方程.【详解】解：因为，由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆，所以，，所以点的轨迹方程是.故答案为：14.若函数的图象在处的切线斜率为，则实数__________.【答案】##【解析】【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义及直线斜率的定义可求【详解】因为，所以，所以在处的切线斜率，解得．故答案为：．15.已知抛物线：的焦点为，设点在抛物线上，若以线段为直径的圆过点，则______.【答案】【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得，进而得斜率关系，联立直线与抛物线的方程即可得交点，由焦半径公式即可求解.【详解】因为，所以，焦点的坐标为. 设，则直线的斜率为，因为以线段为直径的圆过点，所以，所以直线的斜率为，直线的方程为联立解得，,故答案为：16.已知球的半径为2，四棱锥的顶点均在球的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为______【答案】##【解析】【分析】根据圆的几何性质、球的几何性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】圆内接四边形是正方形时，这个四边形的面积最大，当四棱锥的高经过点时，此时体积最大，如图所示：设此时正方形的边长为，所以，设该四棱锥的高为，所以有，由勾股定理可得：， 该四棱锥体积为，设，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最大值.故答案为：.【点睛】关键点睛：根据导数的性质是解题的关键.三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.求适合下列条件的曲线的标准方程.（1）实轴长为，焦点坐标为，求双曲线的标准方程；（2）焦点在轴正半轴上，且焦点到准线的距离是的抛物线的标准方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由实轴长得到，由焦点坐标得到焦点位置和，再由，即可求出双曲线的标准方程；（2）由抛物线标准方程相关概念求解即可.【小问1详解】∵双曲线的一个焦点坐标为，为轴上一点，∴设双曲线标准方程（，），且，又∵双曲线实轴长为，∴，，∴， ∴双曲线的标准方程为.【小问2详解】∵抛物线焦点在轴正半轴上，∴设抛物线的标准方程为（），又∵抛物线焦点到准线的距离是，∴，∴抛物线的标准方程为.18.已知函数且在处取得极值.（1）求a，b值；（2）求函数在的最大值与最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用来求得的值.（2）结合（1）求得在区间上的最值，由此确定正确结论.【小问1详解】，依题意，解得.，所以在区间上递增；在区间上递减.所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意.【小问2详解】， ，由（1）知，在区间上的最大值为，最小值为.19.如图1所示，在边长为3的正方形中，将沿折到的位置，使得平面平面，得到图2所示的三棱锥．点分别在上，且，，．记平面与平面的交线为l．（1）在图2中画出交线l，保留作图痕迹，并写出画法．（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）利用公理3，通过找出两平面的两个公共点即可求出结果；（2）建立空间直角坐系，求出平面AFG与平面EFG的法向量，再利用空间向量的面面公式及图形即可求出结果.【小问1详解】作图步骤：如图所示，延长EF，AB交于点M，延长AC，EG交于点N，连接MN，则直线MN即为交线l．保留作图痕迹且正确．【小问2详解】四边形ABCD是长为3的正方形，取中点，连接，则，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又 平面，所以，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面AFG与平面EFG的法向量分别为，，则由，得到，不妨设，则，所以，由，得到，取，则，所以，所以．由图知，二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为．20.已知椭圆的离心率为，直线，左焦点F到直线l的距离为． （1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交于A，B两点．C，D是椭圆T上异于A，B的任意两点，且直线AC，BC，AD，BD的斜率都存在．直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．设直线AC，BC的斜率为，．①求的值；②求直线MN的斜率．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）由距离公式求出，再由离心率求出，即可求出，从而得解；（2）首先求出，两点坐标，①设，利用斜率公式计算可得；②设，的斜率分别为，，设直线的方程为，直线的方程为，即可求出点坐标，同理求出点坐标，再由斜率公式计算即可得解.【小问1详解】因为，所以，又左焦点到直线的距离为，有，解得或（舍去），所以，，椭圆方程为． 【小问2详解】由（1）知，椭圆的方程为，由，解得或，所以，．①，斜率都存在，即，存在．设，显然，且，从而．②设，的斜率分别为，，设直线的方程为，直线的方程为．由，解得，从而点的坐标为，因为，，设直线的方程为，即，设直线的方程为，即， 用代，代得点的坐标为，即点的坐标为，所以．21.已知函数．（1）求的极值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）极小值，无极大值.（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）参变分离可得对任意的，恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.【小问1详解】函数的定义域为，又，令得，令得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，无极大值.【小问2详解】 由得，即对任意的，恒成立，令，，则，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以当时在内存在唯一的零点，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，，因为，所以，，所以，因为，所以，所以，所以实数的取值范围为.【点睛】 方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C的极坐标方程为，A，B是曲线C上不同的两点，且，其中O为极点.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求点B的极径.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化即可求得曲线C的直角坐标方程；（2）利用题给条件列方程组即可求得点B的极径.【小问1详解】由，，得：，所以曲线C的直角坐标方程为；【小问2详解】设，则由题意可知，将A，B坐标代入方程得：，∴，得(负值舍去)，∴B的极径为.23.在直角坐标系中，曲线M的方程为，曲线N的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线M，N的极坐标方程； （2）若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线和的极坐标方程；（2）将代入曲线和的方程，求得和，结合题意求得，即可求解.【小问1详解】解：由，可得，即，又由，可得，所以曲线M的极坐标方程为．由，可得，即，即曲线N的极坐标方程为.【小问2详解】解：将代入，可得，将代入，可得，则，因为，所以，