第17章一元二次方程17.3一元二次方程根的判别式课件（沪科版八下）

17.3一元二次方程根的判别式 新课导入交流在前面的学习中，你是否注意到：方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根的条件是什么？何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？ 新课探究通过配方得到了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式 因为a≠0，所以（1）当b2–4ac＞0时，是正实数，因此，方程有两个不相等的实数根： （2）当b2–4ac=0时，，因此，方程有两个相等的实数根：（3）当b2–4ac<0时，在实数范围内无意义，因此方程没有实数根. 我们把b2–4ac叫做一元二次方ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式.通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2–4ac. 一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ=0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根. 例不解方程，判别下列方程根的情况：（1）5x2–3x–2=0；（2）25y2+4=20y；（3）2x2+x+1=0. 解（1）因为Δ=（–3）2–4×5×（–2）=49＞0，所以原方程有两个不相等的实数根.（2）原方程可以变形为25y2–20y+4=0.因为Δ=（–20）2–4×25×4=0，原方程有两个相等的实数根.（3）因为Δ=（）2–4×2×1=–5＜0，所以原方程没有实数根. 练习不解方程，判断下列方程根的情况.x2+5x+6=0；9x2+12x+4=0；Δ=b2–4ac=52–4×1×6=1>0方程有两个不等的实数根Δ=b2–4ac=122–4×9×4=0方程有两个相等的实数根 2x2+4x–3=2x–4；x（x+4）=8x+12.化简得2x2+2x+1=0Δ=b2–4ac=22–4×2×1=–4<0方程无实数根化简得x2–4x–12=0Δ=b2–4ac=（–4）2–4×（–12）=64>0方程有两个不等的实数根 随堂演练1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，则b2–4ac满足的条件是（）A.b2–4ac=0B.b2–4ac＞0C.b2–4ac＜0D.b2–4ac≥0D 2.已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2–2x–3=0.下列说法正确的是（）A.①②都有实数解B.①无实数解，②有实数解C.①有实数解，②无实数解D.①②都无实数解B 3.无论p取何值，方程(x–3)(x–2)–p2=0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由.解：方程化简为x2–5x+6–p2=0,∴b2–4ac=(–5)2–4×1×(6–p2)=4p2+1≥1,∴Δ>0∴无论p取何值，方程(x–3)(x–2)–p2=0总有两个不等的实数根. 4.已知2mx2+8m（x+1）=–x，当m为何值时，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根. 解：原方程可化为2mx2+(8m+1)x+8m=0因为Δ=b2–4ac=(8m+1)2–4×2m×8m=16m+1（1）当Δ=16m+1＞0，即m＞–，且m≠0时，方程有两个不等的实数根；116（2）当Δ=16m+1=0，即m=–时，方程有两个相等的实数根；116（3）当Δ=16m+1＜0，即m＜–时，方程没有实数根.116 5.解方程ax2–5x+5=0解当a=0时，x=1.当a≠0时，方程为一元二次方程，Δ=25–20a.当Δ＞0，即a＜时，x=；当Δ=0，即a=时，x=2；当Δ＞0，即a＜时，方程无解.545454 课堂小结根的判别式Δ=b2–4ac当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ=0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根.