第17章一元二次方程17.3一元二次方程根的判别式教案（沪科版八下）

17.3一元二次方程根的判别式【知识与技能】1.了解根的判别式的概念、能用判别式判别根的情况.2.学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．【过程与方法】1.培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力.2.进一步考察学生思维的全面性.【情感态度】1.通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神.2.进一步渗透转化和分类的思想方法.【教学重点】会用判别式判定根的情况.【教学难点】正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）无实数根.”一、创设情境，导入新课1.在前面我们学习的用“公式法”解一元二次方程中，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根.那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？2.复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程：①x2-3x+2＝0；②x2-2x+1＝0；③x2+3＝0.【教学说明】问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用.问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用.二、合作探究，探索新知1.任何一个一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）用配方法将其变形为(x+)2=4 ∵a≠0,∴4a2＞0【教学说明】做到这一步时，要停下来，考虑被开方数的正负性，引导学生对字母的取值进行讨论.2.请同学们思考，方程一定有实数根吗？方程根的情况与谁有关？有什么关系？学生观察后回答：（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根.3.教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”表示．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）.当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根.【教学说明】引导学生讨论方程的根由谁来确定，分哪几种情况，然后教师进行总结，得出根的判别式的三种情况，可以适当举出简单的实例让学生做一做，以加深印象.三、示例讲解，掌握新知例1不解方程，判断下列方程根的情况：（1）5x2-3x-2=0;(2)25y2+4=20y;(3)2x2+3x+1=0.解（1）因为Δ=(-3)2-4×5×(-2)=49＞0,所以原方程有两个不相等的实数根.（2）原方程可变形为25y2-20y+4=0因为Δ=(-20)2-4×25×4=0,所以原方程有两个相等的实数根.（3）因为Δ=（3）2-4×2×1=-5＜0，所以原方程没有实数根.4 【教学说明】这是对根的判别式的直接应用，要强调学生先将方程写成一般形式，然后再写出a，b，c的值，最后再代入根的判别式进行计算，根据结果判断方程根的情况.例2当m为何值时，关于x的一元二次方程x2-4x+m-=0有两个相等的实数根？此时两个实数根是多少？【分析】由于一元二次方程有两个相等的实数根，所以根的判别式的值为0，由此可求出m的值，进而可求出方程的根.解根据题意，得Δ=(-4)2-4（m-）=0，即16-4m+2=0,解得m=.即当m=时，方程有两个相等的实数根，此时方程为x2-4x+4=0.解方程，得x1=x2=2.【教学说明】这是对根的判别式的反向应用，教师可以先让学生回顾根的三种情况与根的判别式的关系，然后再构建相应的式子求解.四、练习反馈，巩固提高1.对于一元二次方程2x2-3x-1=0,其根的判别式Δ=.2.用公式法解方程4x2=3x+2时，应先将其化为一般形式，然后计算出根的判别式Δ=.3.写一个你喜欢的实数m的值，使关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根.4.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：（1）3x2-2x-1=0;（2）2x2-x+1=0;（3）4x-x2-2=x2.5.求证：方程（m2+1）x2-2mx+（m2+4）＝0没有实数根.【答案】1.172.4x2-3x-2=0413.答案不唯一，m＜即可4.（1）解：Δ＞0,方程有两个不等的实数根.（2）Δ＜0,方程无实数根；（3）x2-2x+1=0,Δ=0,方程有两个相等的实数根.5.分析：将Δ算出，论证Δ＜0即可得证.证明：Δ＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4+4m2+4）＝-4（m2+2）2.4 ∵不论m为任何实数，（m2+2）2＞0．∴-4（m2+2）2＜0，即Δ＜0．∴（m2+1）x2-2mx+（m2-4）＝0，没有实根.【教学说明】第1、2、3、4题是对根的判别式的直接应用，主要是要加深学生的印象，第5题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．五、师生互动，课堂小结（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式，用“Δ”表示.②一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）.当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根．反之亦然．（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法.完成同步练习册中本课时的练习.学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对b2-4ac的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究b2-4ac作用，它是前面知识的深化与总结.在教学中先让学生明确根的判别式的由来以及它的重要性，然后通过直接的应用加深印象，最后通过反向应用拓展学生的思维.从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触.所以可以让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力.4