第17章一元二次方程17.5一元二次方程的应用课时训练（沪科版八下）

17.5　第1课时　一元二次方程的应用(面积、数字问题)知识点1　面积问题1.[2019·合肥蜀山区联考]图所示的是一块长方形花园,其宽(短边)为20m,现打算将花园扩建,要求长边保持不变,将短边扩大到与长边相等,使得扩建后的花园是正方形,若扩大后的花园面积比原来增加了100m2,设长方形的长边为xm,则可列方程为(　　)A.x(x-20)=100B.x(x+20)=100C.20x=100D.(x+20)(x-20)=1002.用长100cm的铁丝制成一个长方形框,框的面积是500cm2,此时框的长和宽分别约为(　　)A.30cm,20cmB.35cm,15cmC.36.2cm,13.8cmD.28cm,22cm3.[2020·遵义]如图,把一块长为40cm,宽为30cm的长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形,然后把纸板的四边沿虚线折起,并用胶带粘好,即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2,设剪去小正方形的边长为xcm,则可列方程为(　　)A.(30-2x)(40-x)=600B.(30-x)(40-x)=600C.(30-x)(40-2x)=600D.(30-2x)(40-2x)=6004.[2019·山西]如图17-5-3,在一块长12m,宽8m的长方形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与长方形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77m2.设道路的宽为xm,则根据题意可列方程为　. 14 5.如图,利用一面墙(墙的长度不限),另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的长方形场地.求长方形场地的长和宽.知识点2　数字问题6.[2019·合肥庐阳区期中]如图所示是某月的月历表,在此月历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如:8,14,15,16,17,24).如果圈出的6个数中,最大数x与最小数的积为225,那么根据题意可列方程为(　)A.x(x+8)=225B.x(x+16)=225C.x(x-16)=225D.(x+8)(x-8)=2257.两个连续奇数的积为255,若设其中较小的奇数为x,则可列方程为　　　　　　　　　,这两个数分别为　　　　　　　　. 8.[教材习题17.5第2题变式]一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和为5.把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736,求原来的两位数.9.[2019·宿州埇桥区月考]某中学兴趣小组准备围建一个长方形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用30m长的篱笆围成,如图所示.已知墙长为20m,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为xm.14 (1)若苗圃园的面积为108m2,求x的值.(2)苗圃园的面积能达到120m2吗?若能,请求出x的值;若不能,请说明理由.10.[2019·徐州]如图17-5-7,有一块长方形硬纸板,长30cm,宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时,所得长方体盒子的侧面积为200cm2?11.[2019·阜阳期中]如图,用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面,观察下列图形并解答问题.(1)在第a个图中,共有　　　　块白瓷砖和　　　　块黑瓷砖(用含a的代数式表示); (2)若按上图的方式铺一块长方形地面共用了420块瓷砖,求此时a的值;(3)已知白瓷砖每块6元,黑瓷砖每块8元,某工厂按如图17-5-8方式铺设厂房地面,其中黑瓷砖的费用比白瓷砖的费用多924元,则白瓷砖和黑瓷砖各用了多少块?第2课时　一元二次方程的应用(增降率、商品定价问题)知识点1　增降率问题14 1.[2020·芜湖二模]受新冠肺炎疫情影响,某企业生产总值从1月份的300万元,连续两个月降至260万元,设平均降低率为x,则可列方程为(　　)A.300(1+x)2=260B.300(1-x2)=260C.300(1-2x)=260D.300(1-x)2=2602.[2020·合肥二模]某件羊毛衫的售价为1000元,因换季促销,商家决定降价销售,在连续两次降价x%后,售价降低了190元,则x为(　　)A.5B.10C.19D.813.[2019·阜阳模拟]下表是某公司今年1~5月份的收入统计表(统计表中部分有污染),若2月份,3月份的增长率相同,设它们的增长率为x,根据表中信息,可列方程为(　　)月份12345收入/万元1■45■A.(1+x)2=4-1B.(1+x)2=4C.(1+2x)2=7D.(1+x)(1+2x)=44.[教材例2变式]某校去年对校图书馆更新投资了2万元,预计今明两年的投资总额为12万元,求该校今明两年在图书更新投资上的年平均增长率.知识点2　商品定价问题5.某商店以每件16元的价格购进一批商品,物价局限定,每件商品的利润不得超过30%,若每件商品售价定为x元,则可卖出(170-5x)件,商店预期要盈利280元,那么每件商品的售价应定为(　　)A.20元B.20.8元C.20元或30元D.30元6.某商品现在的售价是每件130元,每日的销售量是70件.经市场调查反映:若每件商品售价每上涨1元,则每日的销售量就减少1件.已知该商品的进价是每件120元,那么该商品的定价为多少元时,每日可盈利1600元?解:设每件商品上涨x元,14 (1)用含x的代数式表示:①每件商品的销售价为　　　　　元; ②日销售量为　　　　　件. (2)根据题意,列出相应方程为　　　　　　　. (3)解这个方程,得　　　　　　　　　. (4)130+x=　　　　. (5)答:每件商品的定价为　　　　元时,每日可盈利1600元. 7.某种服装平均每天可销售20件,每件盈利44元,若每件服装每降价1元,则每天可多售出5件,若设每件降价x元.(1)根据题意,填表:每件盈利(元)销售量(件)每天盈利(元)降价前4420880降价后　　 　　 (2)若每天盈利1600元,则每件应降价多少元?8.[2019·安庆期末]一家水果店以每斤12元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤14元的价格出售,每天可售出100斤,通过调査发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤.(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是多少斤(用含x的代数式表示)?(2)销售这种水果要想每天盈利300元,且保证每天至少售出260斤,那么水果店需将每斤的售价降低多少元?9.[2020·湘西州]某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个,1月底因突然爆发新冠肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求,工厂决定从2月份起扩大产能,3月份平均日产量达到24200个.(1)求口罩日产量的月平均增长率;14 (2)按照这个增长率,预计4月份平均日产量为多少?10.某公司投资新建了一个商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,便少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,为未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.(1)当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间?(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益(收益=租金-各种费用)为275万元?11.为丰富居民业余生活,某居民区组建筹委会.该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算,一共需要筹资30000元,其中一部分用于购买书桌、书架等设施,另一部分用于购买书刊.(1)筹委会计划购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍,则最多用多少资金购买书桌、书架等设施?(2)经初步统计,有200户居民自愿参与集资,那么平均每户需要集资150元.镇政府了解情况后,赠送了一批阅览室设施和书籍,这样,只需参与户集资20000元.经筹委会进一步宣传,自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a>0),则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了109a%,求a的值.第3课时　可化为一元二次方程的分式方程及应用知识点1　可化为一元二次方程的分式方程的解法1.把分式方程2x+2=1x-2+3转化为一元二次方程时,方程两边需同乘以(　　)A.3x(x+2)B.3x(x-2)C.3(x2-4)D.x2-42.[2019·黄石]分式方程4x2-4x-1x-4=1的解为　　　　. 14 3.[2019·上海]解方程:2xx-2-8x2-2x=1.知识点2　可化为一元二次方程的分式方程的应用4.[2020·福建]我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽.设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是(　　)A.3(x-1)=6210xB.6210x-1=3C.3x-1=6210xD.6210x=35.某单位向一所希望小学赠送1080本课外书,现用A,B两种不同的包装箱进行包装,单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个;已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书,则每个A型包装箱可以装书　　　　本. 6.[2019·宜宾]甲、乙两辆货车分别从A,B两城同时沿高速公路向C城运送货物.已知A,C两城相距450千米,B,C两城的路程为440千米,甲车比乙车的速度快10千米/时,甲车比乙车早半小时到达C城.求两车的速度.7.西部建设中,某工程队承包了一段72千米的铁轨的铺设任务,计划若干天完成,在铺设完一半后,增添工作设备,改进了工作方法,这样每天比原计划可多铺3千米,结果提前了2天完成任务.原计划每天铺多少千米,计划多少天完成?8.一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥.从运输量来估算,若租两车合运,10天可以完成任务;若单独租用乙车完成任务比单独租用甲车完成任务多用15天.(1)甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天?(2)已知两车合运共需租金65000元,甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元.试问:租甲、乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种租车方案中,哪一种租金最少?请说明理由.14 14 教师详解详析17.5　第1课时　一元二次方程的应用(面积、数字问题)1.A　[解析]扩建后增加的长方形长为xm,宽为(x-20)m,由题意可得x(x-20)=100.2.C3.D　[解析]设剪去小正方形的边长是xcm,则该无盖纸盒底面的长为(40-2x)cm,宽为(30-2x)cm,根据题意,得(30-2x)(40-2x)=600.故选D.4.(12-x)(8-x)=775.解:设垂直于墙的一边长为xm,则得x(58-2x)=200,解得x1=25,x2=4,当x=25时,58-2x=8;当x=4时,58-2x=50.∴平行于墙的一边长为8m或50m.答:长方形场地的长为25m,宽为8m或长为50m,宽为4m.6.C7.x(x+2)=255　-17,-15或15,178.[解析]数与数字之间的关系:两位数=十位数字×10+个位数字.解题的关键是正确地写出原来的两位数和对调后的两位数.解:设原两位数的十位数字为x,则个位数字为5-x.根据题意,得[10x+(5-x)][10(5-x)+x]=736,整理,得x2-5x+6=0,解方程,得x1=2,x2=3.当x=2时,5-x=3,这个两位数为23;当x=3时,5-x=2,这个两位数为32.答:原来的两位数为23或32.9.解:(1)根据题意,得(30-2x)x=108,解得x1=6,x2=9.∵0<30-2x≤20,∴5≤x<15,∴x1=6,x2=9均符合题意.故x的值为6或9.(2)不能.理由:根据题意,得(30-2x)x=120,14 整理,得x2-15x+60=0.∵Δ=152-4×60=-15<0,∴此时方程无解.即苗圃园的面积不能达到120m2.10.解:设剪去正方形的边长为xcm,则做成无盖长方体盒子的底面长为(30-2x)cm,宽为(20-2x)cm,高为xcm.依题意,得2[(30-2x)+(20-2x)]x=200,整理,得2x2-25x+50=0,解得x1=52,x2=10.当x=10时,20-2x=0,不合题意,舍去,所以正方形的边长为52cm.答:当剪去正方形的边长为52cm时,所得长方体盒子的侧面积为200cm2.11.解:(1)根据第a个图形的黑瓷砖的每行有(a+1)个,每列有a个,可得黑瓷砖的数量为a(a+1).∵图形每一横行有(a+3)块瓷砖,每一竖行有(a+2)块瓷砖,∴瓷砖总块数为(a+2)(a+3),∴白瓷砖块数为:(a+2)(a+3)-a(a+1)=4a+6.故答案为:(4a+6),a(a+1).(2)由题意得(a+2)(a+3)=420,解得a1=18,a2=-23(不合题意,舍去).∴a的值为18.(3)由题意得8a(a+1)-6(4a+6)=924,解得a1=12,a2=-10(不合题意,舍去).∴黑瓷砖块数=a(a+1)=156(块),白瓷砖块数=4a+6=54(块).答:白瓷砖和黑瓷砖分别用了54,156块.教师详解详析14 第2课时　一元二次方程的应用(增降率、商品定价问题)1.D2.B　[解析]依题意,得1000(1-x%)2=1000-190,解得x1=10,x2=190(不合题意,舍去).故选B.3.B　[解析]设2月份,3月份的增长率为x,根据题意,得1×(1+x)2=4,即(1+x)2=4.故选B.4.解:设该校今明两年在图书更新投资上的年平均增长率为x,根据题意,得2(1+x)+2(1+x)2=12,即x2+3x-4=0,解得x1=1=100%,x2=-4(舍去).答:该校今明两年在图书更新投资上的年平均增长率为100%.5.A　[解析]设每件商品的售价应定为x元,则每件商品的利润为(x-16)元,由题意得(170-5x)(x-16)=280,解得x1=20,x2=30.∵每件商品的利润不得超过30%,∴x=30不合题意,舍去.故选A.6.(1)①(130+x)　②(70-x)(2)(130+x-120)(70-x)=1600(3)x1=x2=30　(4)160　(5)1607.解:(1)44-x　20+5x(2)根据题意,得(44-x)(20+5x)=1600,整理,得(x-4)(x-36)=0,解得x1=4,x2=36.答:每件应降价4元或36元.8.解:(1)由题意,得每天的销售量是:100+x0.1×20=(200x+100)斤,即将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是(200x+100)斤.(2)由题意,得14 (200x+100)×(14-12-x)=300.解得x1=1,x2=0.5.由题意得200x+100≥260,解得x≥0.8.∴x=1.即水果店需将每斤的售价降低1元.9.解:(1)设口罩日产量的月平均增长率为x,根据题意,得20000(1+x)2=24200,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:口罩日产量的月平均增长率为10%.(2)24200×(1+10%)=26620(个).答:预计4月份平均日产量为26620个.10.解:(1)13-10=3(万元),30000÷5000=6,30-6=24(间).答:当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出24间.(2)设每间商铺的年租金增加x万元,由题意得30-x0.5×(10+x)-30-x0.5×1-x0.5×0.5=275,整理,得2x2-11x+5=0.解得x1=0.5,x2=5.10+0.5=10.5(万元),10+5=15(万元).答:当每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元时,该公司的年收益为275万元.11.解:(1)设用于购买书桌、书架等设施的资金为x元.由题意,得30000-x≥3x,解得x≤7500.答:最多用7500元资金购买书桌、书架等设施.(2)由题意,得200(1+a%)×150×1-109a%=20000,设m=a%,则3(1+m)1-109m=2,整理,得10m2+m-3=0,解得m1=-0.6(舍去),m2=0.5,∴a%=0.5,∴a=50.14 教师详解详析第3课时　可化为一元二次方程的分式方程及应用1.D2.x=-1　[解析]去分母,得4-x=x2-4x,即x2-3x-4=0,解得x1=4,x2=-1.经检验,x=4是增根,所以分式方程的解为x=-1.3.解:去分母,得2x2-8=x2-2x.整理,得x2+2x-8=0.将方程左边分解因式,得(x-2)(x+4)=0.解得x1=2,x2=-4,经检验,x=2是增根,所以原分式方程的解为x=-4.4.A5.45　[解析]设每个A型包装箱可以装书x本,根据题意,得1080x+15=1080x-6.解得x1=-60(不合题意,舍去),x2=45.经检验,x=45是原方程的根.故答案为45.6.解:设乙车的速度为x千米/时,则甲车的速度为(x+10)千米/时.根据题意,得450x+10+12=440x.解得x1=80,x2=-110(舍去).∴x=80,经检验,x=80是原方程的解,且符合题意.当x=80时,x+10=90.答:甲车的速度为90千米/时,乙车的速度为80千米/时.7.解:设原计划每天铺x千米,则可列方程为72x-722x+722x+3=2,整理,得x2+3x-54=0,解得x1=6,x2=-9.经检验,x1=6,x2=-9都是所列方程的根,但由于负数不合题意,所以x=-9舍去,取x=6.所以原计划完成任务的天数为72x=726=12.14 答:原计划每天铺6千米,计划12天完成任务.8.解:(1)设甲车单独完成任务需要x天,则乙车单独完成任务需要(x+15)天.根据题意,得10x+10x+15=1,解得x1=15,x2=-10.经检验,x1=15,x2=-10都是原方程的根,但x2=-10<0,不合题意,应舍去,故x=15.x+15=15+15=30(天).答:甲车单独完成任务需要15天,乙车单独完成任务需要30天.(2)单独租甲车租金最少.理由如下:设甲车每天的租金为y元,则乙车每天的租金为(y-1500)元.根据题意,得(y+y-1500)×10=65000,解得y=4000,y-1500=4000-1500=2500(元),单独租甲车需4000×15=60000(元),单独租乙车需2500×30=75000(元),∵60000<65000<75000,∴单独租甲车租金最少.14