第1章二次函数知识归纳（湘教版九下）

二次函数二次函数及其图像二次函数（quadraticfunction）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为y=ax2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式　　y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(b2-4ac)/4a)；顶点式　　y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（h，k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ｙ＝ax２的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式　　y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]；　　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的平方的图像，　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。　轴对称　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）顶点　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，4ac-b2)/4a)　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b2-4ac=0时，P在x轴上。开口　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。　　|a|越大，则抛物线的开口越小。3 决定对称轴位置的因素　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时　　（即ab＜0），对称轴在y轴右。　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的　　斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定抛物线与y轴交点的因素　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。　　抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数　　6.抛物线与x轴交点个数　　Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。　　Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。　　Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。　　当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值,当a<0时，函数在x=-b/2a处取得最大值　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，　　7.特殊值的形式　　①当x=１时y=a+b+c　　②当x=-1时y=a-b+c　　③当x=2时y=4a+2b+c　　④当x=-2时y=4a-2b+c用函数观点看一元二次方程1.如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。实际问题与二次函数3 在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。3