第1章直角三角形1.4角平分线的性质第1课时角平分线的性质定理及其逆定理课件（湘教版八下）

角平分线的性质定理及其逆定理湘教版·八年级数学下册① 复习导入角平分线的概念OBCA12角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.尺规做角的平分线NMC观察领悟作法，探索思考证明方法：画法：1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．2.分别以M，N为圆心．大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．3.作射线OC．射线OC即为所求． 动动手:将手中的三角形纸片按如下顺序操作，并标好对应字母:①将∠AOB对折，记折痕为OC；②以OA(OB)为直角边剪一个直角三角形；③展开，观察分析；探究新知AOBAOC（B）ADOPCEBAOC（B）P 交流探究问题一：第一条折横分得的两个角的大小有什么关系？问题二：PD和PE与OA和OB有什么位置关系?它们的长度有什么关系？问题三：你能用自己的语言总结角平分线上点的特点吗?问题四：你能证明你的结论吗？探究新知AOBAOC（B）ADOPCEBAOC（B）P 一般情况下.我们要证明几何命题时，可以按照以下步骤进行.即:1.明确命题中的条件和结论；2.根据题设，画出图形.并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，写出证明过程.探究新知AOBAOC（B）ADOPCEBAOC（B）P 探究新知将∠AOB沿OC对折，我发现PD与PE重合，即PD与PE相等.你能证明吗？如图1-26，在∠AOB的平分线OC.上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗?ADOPCEB图1-26 由此得到角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.探究新知如图1-26，在∠AOB的平分线OC.上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗?证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∵∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.ADOPCEB图1-26 探究新知如图1-26，在∠AOB的平分线OC.上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗?ADOPCEB图1-26由此得到角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.符号语言：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴PD=PE. 探究新知角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗?如图1-27，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗?证明：如图1-27，过点O,P作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP，PD=PE,∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∴∠AOC=∠BOC.∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.ADOPCEB由此得到角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.图1-27 探究新知角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗?如图1-27，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分别为点D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗?ADOPCEB图1-27由此得到角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．∴OP平分∠AOB． 图形名称图形语言文字语言符号语言关键词角平分线性质定理逆定理PC∵OP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于E∴PD=PE角的平分线上的点到角的两边的距离相等.一平分，两个垂直，得一个相等.PC∴OP平分∠AOB∵PD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.两个垂直，一个平分，得一个相等.归纳小结 例1如图1-28，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.(1)求证:点B在∠ADC的平分线上;(2)求证:BD平分∠ABC.探究新知证明：（1）在△ABC中，∵∠l=∠2，∴BA=BC.又BA⊥AD，BC⊥CD，∴点B在∠ADC的平分线上.（2）在Rt△BAD和Rt△中，∵BA=BC，BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BCD.∴∠ABD=∠CBD.∴BD平分∠ABC.【教材P23】 巩固练习1.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等.EFCP解：[选自教材P24练习第1题] 巩固练习2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD.求证:AB=AC.证明：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF.又BD=CD，∴Rt△BED≌Rt△CFD.∴∠B=∠C.∴AB=AC(等角对等边).[选自教材P24练习第2题] 巩固练习1.如图，一个工厂在A区，它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处O点为500m，在图上标出它的位置(比例尺为1∶20000).解：500÷20000=0.025m,0.025m=2.5cm图上距离为2.5cm.EFCP点P即为所求．[选自教材P26习题1.4A组第1题] 巩固练习2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8m，DC=AD，BD平分∠ABC，求D到AB的距离.解：[选自教材P26习题1.4A组第2题] 课堂小结角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 课堂小结角平分线角平分线上的点到角的两边的距离相等.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.定理逆定理直角三角形性质判定直角三角形两个锐角互余.有两个角互余的三角形是直角三角形.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.勾股定理.勾股定理逆定理.定理逆定理