福建省宁德市2022-2023学年高二数学下学期区域性学业质量监测（B卷）试题（Word版附解析）

2022-2023学年第二学期高二区域性学业质量监测数学试题（B卷）本试卷有第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知物体的运动方程为（t是时间，s是位移），则物体在时刻时的速度为（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】根据位移的导数是速度，求出的导函数即速度与时间的函数，将代入即可求出物体在时刻时的速度．【详解】已知物体的运动方程为（是时间，是位移），故速度，所以物体在时刻时的速度.故选：B．2.已知，，且，则（）A.B.2C.4D.6【答案】A【解析】【分析】根据空间向量共线定理列式可求出结果.【详解】因为，所以存在实数使得，即，所以, 所以，得，所以.故选：A3.已知函数的导函数为，且满足，则（）A.B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】求导后，令可得结果.【详解】因为，所以，所以，得.故选：A4.已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（）A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】【分析】根据题意，设，列出方程组即可得到结果.【详解】因为，，，且，，三向量共面，设，则，即，解得.故选：D5.已知单位向量，，中，，，则（）A.B.5C.6D.【答案】D【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，，且，，为单位向量，则.故选：D6.已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的高等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.【详解】由题意，，，可得，，，即角B为锐角，所以，所以边上的高.故选：B7.函数的图象大致为（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】首先求出函数的定义域，判定函数的奇偶性及单调性即可得解.【详解】解：定义域为即函数是奇函数，图象关于原点对称，由，为奇函数，排除B；又，排除C；当时，，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，排除A；故选：【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是函数的奇偶性，单调性的应用，属于基础题.8.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】方法1，由题意可得有两根，则，，令，对函数求导，求出函数的单调区间，从而画出函数的图象，结合图象可求得结果；方法2：由题意得有两根，令，对函数求导，求出其单调区间，画出图象，将问题转化为直线与图象有两个交点，从而可求出实数的取值范围【详解】方法1：，有两个都零点，即有两根， 则，，设，则，令，则，，令，得，则在且；令，得，则在且；，图象如图所示，实数时函数有两个零点.方法2：有两个都零点，即有两根，设，则，令，则，，令，得，则在单调递增且；令，得，则在单调递减且；，图象如图所示，设与相切于则，解得，所以实数时函数有两个零点.故选：C 【点睛】关键点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数与方程的应用，解题的关键是将问题转化为，，然后构造函数，利用导数求出其单调区间，画出图象，利用数形结合的方法求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列说法正确的是（）A.空间向量与的长度相等B.平行于同一个平面的向量叫做共面向量C.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆D.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底【答案】AB【解析】【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断.【详解】对于A，向量与是相反向量由相反向量的定义知，向量与的长度相等，故A正确；对于B，平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，故B正确；对于C，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误；对于D，空间任意三个不共面的非零向量都可以构成空间的一个基底，故D错误.故选：AB.10.下列求导运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据题意，由求导的运算法则，对选项逐一验证，即可得到结果. 【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；故选：BD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的单调递增区间是B.的单调递减区间是C.的最大值是D.恒成立【答案】BD【解析】【分析】根据导数求出函数的单调区间和最值可得答案.【详解】的定义域为，，令，得，令，得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是，故A不正确，B正确；所以，故C不正确，由C知，，故D正确；故选：BD12.如图，在棱长为1的正方体中，M为边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（） A.存在点，使得B.过三点、、的正方体的截面面积为C.四面体的内切球的表面积为D.点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆【答案】BC【解析】【分析】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由可判断A；过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形，求出截面面积可判断B；设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为，由即，求出可判断C；由分析可得，的轨迹是被四边形截得的4段圆弧，求解可判断D.【详解】对于A，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，；若，则，即，与题意矛盾，所以A错误；对于B，取中点，连接，因为， 所以可得、、、四点共面，所以过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形，，过点作，所以，所以梯形的高为，所以，，故B正确；对于C，如下图知：四面体的体积为正方体体积减去四个三棱锥的体积，可知四面体是棱长为的正四面体，取的外心，连接，则平面，则，则，所以， 所以四面体的高，设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为，，即，，所以C正确；对于D，，，∵，∴，即，可得轨迹为圆：，所以，圆心，，又，所以，轨迹为圆：被四边形截得的4段圆弧，所以D错误；故选：BC.第II卷（非选择题共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.已知在标准正交基下，向量，，，则向量在上的投影为_________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算用基底表示，再求出在上的投影作答.【详解】因为向量，，，因此， ，所以向量在上的投影为.故答案为：14.函数的单调递减区间是_________.【答案】【解析】【分析】求导，解不等式可得结果.【详解】,由，得，所以函数的单调递减区间是.故答案为：.15.如图，在长方体中，，，E、F分别是BC、DC的中点，则与所成角的余弦值为_________.【答案】【解析】【分析】,可得与EF所成角,在三角形中可计算得出.详解】由E，F分别是BC，DC的中点，则.在长方体中有， 所以，所以为与EF所成角.在三角形中，,.所以.故答案为：.16.设定义在上的函数满足，，若，则的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】根据题意，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性解不等式即可.【详解】设函数，∴，∴在上单调递减，又∵，∴则，即，∴，即.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知向量，.（1）求与的夹角余弦值；（2）若，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用向量坐标夹角公式计算可得答案；（2）利用向量垂直的坐标运算可得答案.【小问1详解】因为，，所以，，，所以；【小问2详解】，因为，所以，解得.18.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数在的最大值与最小值.【答案】（1）（2）最大值为10，最小值为【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；（2）对函数求导，得出在的单调性和极值，比较极值点和端点函数值大小即可得出答案.【小问1详解】∵， 函数在处的切线方程的斜率为，又，切点为，切线方程为：即.【小问2详解】因为令，得或；令，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以在处取得极大值，在处取得极小值.又，，，，由（1）知，在区间上的最大值为10，最小值为19.如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用空间向量与平面的法向量垂直可证结论正确；（2）根据点面距的向量公式可求出结果.【小问1详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系. 则，，，，，所以，，.设是平面的一个法向量，则，令，得，，所以.因为，所以，又因为平面，所以平面.【小问2详解】因为，，设是平面的一个法向量，则，令，得，所以.所以点到平面距离.20.现有一批货物从A港运往B港，已知该船的最大航行速度为35海里/小时，全程的航行距离约为600海里，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成.轮船每小时使用的燃料费用（元）与轮船速度（海里/小时）的平方成正比.已知当轮船速度为20海里/小时，轮船每小时使用的燃料费用320元，其余费用为每小时720元.（1）把全程的运输成本元表示为速度（海里/小时）的函数；（2）为了使全程的运输成本最小，轮船的航行速度是多少？【答案】（1），（2）30海里/时【解析】 分析】（1）根据题意，由条件即可得到函数关系式；（2）根据题意，求导可得，从而得到当时，函数取得极小值即为最小值.【小问1详解】设每小时燃料费（元）与速度（海里/时）函数关系为，又当时，，所以得，所以轮船每小时的燃料费元，总共行驶小时，所以全程运输成本，定义域为，即全程运输成本（元）表示为速度（海里/时）的函数为；，【小问2详解】由（1）知，，当时，，即在上单调递减当时，，即在上单调递增，所以当时，函数取得极小值即为最小值.故当轮船应以30海里/时的速度行驶时，全程运输成本最小．21.如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.（1）证明：平面平面；（2）若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）根据题意，在中，由余弦定理求得，得到，证得，再由，证得平面，即可证得平面平面；（2）若O为中点，证得，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，设，由平面的一个法向量为，列出方程求得，进而得到，求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：由题知且，所以为等边三角形，则，又由四边形为梯形，，则，在中，，所以，即，因为，且，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【小问2详解】解：若O为中点，，则，由（1）得平面平面，平面平面，平面，则平面，连接，则，且平面，所以，，所以，，两两垂直，以为原点，，，分别为为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，设且，则，由平面的一个法向量为，可得，解得，因为，所以，可得， 所以，，，设是平面的一个法向量，则，取，可得，所以则，由图形可得的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.22.已知函数，；（1）求函数的单调性；（2）设函数，对于任意的都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）对求导，分类讨论和，判断与得大小，即可得出答案.（2）将题意转化为得对于任意的恒成立，令即在恒成立，即在 恒成立，转化为求得最大值.【小问1详解】的定义域为，则，当时，即时，上单调递增，当时，即时，则即，令得，令得，则上单调递增，在上单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，则在上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】依题得因为对于任意的总有成立，不妨设由，得设，可得在单调递增；在恒成立；∴在恒成立；设，令，得，因为，所以在单调递增；同理，在单调递减，所以的最大值为，